随机分析引论_数学物理化学

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内容提要

本书内容包括概率论基础介绍，离散时间鞅论，连续时间鞅论，布朗运动构造和性质，随机积分理论，伊藤公式及其应用，随机微分方程简介.本书以基础概率论为起点，重点讲述鞅

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编辑出版说明

21世纪，随着科学技术的突飞猛进和知识经济的迅速发展，世界将发生深刻变化，国际间的竞争日趋激烈，高层次人才的教育正面临空前的发展机遇与巨大挑战. 研究生教育是

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引言

本书基于作者在过去15年间在各种相关课程上的讲稿讲义.这些讲稿所包含的材料由两位作者在华东师范大学,英国帝国理工大学,牛津大学,复旦大学等学校的各层次的课堂上多

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第一章　预备知识

随机分析主要是指关于Brown运动的积分理论,是由日本数学家K.It建立起来的,它之所以特别,是因为它不能用通常的积分理论来解释.在数学家的世界里,随机分析理论

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§1.1　可测结构

在本书中,集合R表示实数集,Q表示有理数集,Z表示整数集,N表示自然数集,下标+表示非负元素全体,如R+表示非负实数集,其他类似.我们假设读者熟悉集合的关系和运

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§1.2　随机变量与收敛性

定义1.2.1　一个三元组(Ω,F,P)称为是一个概率空间,如果Ω是一个非空集合,F是Ω上的σ-代数且P是(Ω,F)上的一个概率测度.这时候,也称Ω是样本空间,

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§1.3　特征函数

对于Rn上任意的有限测度μ,定义其中(x,y)是Rn上的内积,被称为μ的Fourier变换,在概率论中一般称为特征函数,虽然名称不同,本质上是一样的.特别地

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§1.4　条件数学期望

条件数学期望是随机分析理论中一个极其重要的概念,在Markov过程和鞅的研究中是不可或缺的.它与概率论中条件概率的概念有相类似的地方而又有本质的区别.下面我们先

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§1.5　习题与解答

1.(Kolmogorov 0-1律)设ξ1,···,ξn,···是独立随机变量序列,令证明:F与A独立,且对任何A∈A,P(A)=0或1. 3.设ξ是随

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第二章　鞅论基础

鞅起源于赌博游戏,它是指一个无偏向的赌博规则.现在鞅是现代随机分析中的重要工具之一,其系统的并让概率学家们看到其重要性的研究要归功于J.L.Doob在20世纪中

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§2.1　离散时间鞅

在本节中,我们将着重介绍鞅的定义及一些常用的例子.简单地说,鞅就是公平原则.在生活中有许多无法预见结果的事件,如比赛,掷骰子,下一个看见的汽车是单号还是双号等.

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§2.2　流与停时

后面我们将考虑连续时间鞅,虽然本质上连续时间与离散时间理论没有太大的区别,但是在技术细节上连续时间理论要复杂一些,连续时间鞅论是法国以P.A.Meyer领导下的

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§2.3　连续时间鞅

在本节中,我们为随机分析做点准备工作,首先将证明对于一个右连续下鞅,我们可以假设流满足通常条件,因此开集与闭集的首中时是停时,继而证明Doob的有界停止定理成立

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§2.4　习题与解答

1.设(Yn:n≥1)是一个具有有限状态空间E的Markov链,P=(p(x,y)):x,y∈E是转移矩阵,即对任何n≥1及y∈E,有 α:E→R是P的从属于

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第三章　Brown运动

在本章中,我们将引入概率论中最有用最重要的随机过程,Brown运动.它是连续的,Gauss过程,是鞅也是Markov过程.尽管它的样本轨道不是有界变差的,但它有

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§3.1　随机过程与无穷维空间上的概率测度

Brown运动的构造不是一件平凡的事情,首先要知道怎么去构造一个连续时间的随机过程,这是Kolmogorov在他为概率论建立公理的专著中给出的一个方法,就是通过

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§3.2　热核半群与Brown运动

所谓Brown运动,它是18世纪植物学家Robert Brown所观察到的粒子在液体表面的无规则运动的数学模型,在这个模型建立的过程中,天才的物理学家A.Ein

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§3.3　 Brown运动的构造

存在性是定义一个概念时必须要首先说明的.首先介绍修正的概念,两个同样概率空间,同样状态空间和同样时间集上的随机过程{Xt}和{Yt}称为互为修正,如果对任何t有

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§3.4　 Brown运动的性质

设B=(Bt)t≥0是完备概率空间上关于流(Ft)的d-维标准Brown运动,其自然流加入所有零概率集后的流记为(Ft).下面是Brown运动的分形性质. 引理

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§3.5　 Brown运动的变差

设f是[0,1]上的函数,p＞0,对于一个分划D={ti},定义f在D上的p-变差为 1-变差就是通常的变差,2-变差称为二次变差.定义f的全变差为当V

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§3.6　习题与解答

1.如果过程X,X′是右连续的(或左连续),那么它们互为修正蕴含着它们是不可区分的. 2.证明:若A∈ET,则存在T的可列子集K使得 3.说ET的一个子集A是

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第四章　It积分

(https://www.daowen.com) 所确定的马氏过程X.他认为这样的方程形式直观上描述了粒子的一种随机运动模式.

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§4.1　引论

它表示Brown运动B=(Bt)t≥0直至时间t的历史.加入所有零概率集之后记为(Ft). 我们的主要目的是定义下列形式的It积分其中被积过程F=(Ft)t

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§4.2　经典随机积分

给定概率空间(Ω,F,Ft,P)上的标准Brown运动B=(Bt:t≥0).不妨假设(Ft)满足通常条件. 定义4.2.1　一个适应随机过程F=(Ft)t≥0被

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§4.3　二次变差过程

在上一节中,我们完美地定义了关于Brown运动的随机积分,但这还远远不够,因为一旦涉及具体的运算,必定会涉及更一般的积分形式,所以我们需要把相对于连续平方可积鞅

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§4.4　连续鞅的随机积分

前面已经定义了关于Brown运动的经典随机积分,在这节中,我们将一步步地把它扩张到关于连续半鞅的随机积分,这已经可以说是通常积分的推广.(https://www

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§4.4.1　关于连续平方可积鞅的随机积分

类似地,我们可以应用定义关于Brown运动的It积分的过程来定义关于连续平方可积鞅的It积分.关于连续平方可积鞅的积分的定义程序如下:对于连续平方可积鞅M和满足

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§4.4.2　 Kunita-Watanabe不等式

那么K就是前一节中定义的随机积分F.M,因为它恰是定理4.4.3　中的刻画. 定理4.4.5　线性泛函φ的表示恰是随机积分F.M. 最后还需要一个重要的不等式说

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§4.4.3　扩展至连续局部鞅

前面关于平方可积鞅的积分理论很漂亮,但是对于过程F和M限制较多.下面我们将It积分扩展至局部有界过程关于连续局部鞅的积分,这非常必要.设M=(Mt)t≥0是初值

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《随机分析引论》简介