多目标优化的最优性条件
前面我们已经介绍了多目标决策的一些基本概念，对于多目标决策问题求解而言，一般是将多目标问题转换为单目标问题。然而对于单目标问题，其解的最优性条件是由库恩和塔克（Kuhn &Tucker）在1951年推导并证明，我们称此最优性条件为Kuhn-Tucker条件，该条件后面逐渐成为目标规划中众多算法的基础。本节将从单目标决策问题的Kuhn-Tucker条件从发，介绍多目标决策问题的Kuhn-Tucker条件。
（一）单目标决策问题的Kuhn-Tucker条件
我们知道，单目标决策问题的一般形式表达如下：
其中，称x为欧式空间中的n维决策变量，也即是由n个决策变量组成的决策向量，有x=（x1，x2，…，xn）。为了便于理解和计算，我们规定f（x），
，
（i=1，2，…，L；j=1，2，…，M）具有一阶连续偏导数。
在给出Kuhn-Tucker条件之前，我们先介绍几个关键概念，以便于厘清该条件的具体定义和算法流程。
正则点的定义如下：假设x*是满足
和
≤0的点，令m是使得
=0的所有下标j的集合。如果梯度向量
，
（i=1，2，…，L，j∈m）是线性无关的，我们称x*为式（2-3）约束条件中的一个正则点。
其中梯度向量
，
（i=1，2，…，L，j∈m）定义为：
于是，我们将式（2.3）的Kuhn-Tucker最优性条件阐述如下：
设f（x），
，
在欧式空间中的某一开集上一阶连续可微，如果x*是式（2-3）约束条件中的一个正则点，则存在Lagrange乘子集
和μ*∈ℜM，并且有μ*≥0，使得如下条件成立：
我们取x*为式（2-3）中满足约束条件的正则点，假设存在Lagrange乘子集λ*∈ℜL和μ*
，并且有μ*≥0，有式（2-4）和（2-5）成立。
为正定矩阵，那么x*为式（2-3）中的局部最小值。
另外对于求解极小化的单目标优化问题，可以通过增加负号将其转化为求解极大值问题，进一步再利用Kuhn-Tucker条件进行求解。
（二）多目标决策问题的Kuhn-Tucker条件
本节以最大化多目标决策问题为例，其一般模型如下：
即可行域为X⊆RN，X={x∈RN|
=0，j=1，2，…，L；
≤0，i=1，2，…，M}。我们已经知道，式（2-7）一般没有最优解，但可以找到其非劣解。
结合前面单目标决策问题的Kuhn-Tucker条件，式（2-7）的解的非劣性条件和式（2-3）的最优性条件非常相似。在这里，我们首先给出式（2-7）的非劣解的Kuhn-Tucker必要性条件如下：
设向量x∈X，并且有x是满足式（2-7）中的正则点。同样，这里fk（x），
，
（k=1，2，…，n；i=1，2，…，L；j=1，2，…，M）满足连续可微条件，如果x是式（2-7）的非劣解，则必然存在Lagrange乘子集向量γ，λ和μ， 其 中γ=（γ1，γ2，…，γn）T，λ=（λ1，λ2，…，λL）T，μ=（μ1，μ2，…，μM）T，并且满足γk≥0，γk0≥0，k=1，2，…，n，1≤k0≤n，λi≥0，i=1，2，…，L；μj≥0，j=1，2，…，M使得
本节将不在讨论一般多目标决策问题非劣解的充分条件，仅给出凸规划情形下的结论：若目标函数
（k=1，2，…，n）均是凸函数，并且所有的γk≥0（k=1，2，…，n），其可行域X是凸的，则式（2-8）和（2-9）也是x为非劣解的充分条件。