打入“冷宫”

光阴荏苒，时间过了约60年。到1895年，有两位数学家，一位叫科特维格，一位叫德弗里斯，在研究单方向运动的浅水波时，建立了一个非线性方程，人们用科特维格和德弗里斯的姓氏词头缩写来命名这个方程，称之为KdV方程。KdV方程有一类解，它们的基本形式是双曲正割函数的平方。如果把它们的函数图象画出来，形状就像我们在寺院里常看到的大钟那样，中间隆起，两旁向下伸展并逐渐趋于平坦。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”，这正是罗素所发现的孤立波的数学表示。

KdV方程是一个非线性方程，非线性方程的一个特点是：它的解一般不能“叠加”。那么，什么叫做“叠加”？

我们在《蝴蝶效应》里已经介绍过，描写大自然变化过程的方程一般是微分方程。微分方程的解不是“数”，而是“函数”。微分方程一般可分为两类，一类是线性方程，一类是非线性方程。

一般来说，线性方程在形式上包括两个部分：一部分包含着要求解的未知函数，它代表着某种自然规律；另一部分则不包含未知函数，它代表着外界作用。线性方程有一个很讨人喜欢的特点：如果f1（t）是一个线性方程的一个解，它代表着在某种自然规律支配下受到一定外界作用后所发生的变化过程，而f2（t）是类似线性方程（这个方程仅在代表外界作用的部分与前一方程有所不同）的一个解，它代表着在同一自然规律支配下受到另一外界作用后所发生的变化过程，那么f1（t）+f2（t）就代表着在这种自然规律支配下同时受到上述两种外界作用后的变化过程，也就是说，它是这样一个线性方程的解：这个方程在代表自然规律的部分与前两个方程完全相同，而其代表外界作用的部分则是前两个方程相应部分的和。人们把这个特点说成：线性方程的解是可以“叠加”的。这个特点在现实的自然界变化过程中的表现是：某种自然规律支配下的一个变化过程和同一规律支配下的另一变化过程相遇时，它们互不干扰，相互独立。

与线性方程相比，非线性方程就有点令人棘手了，因为它的解一般没有这样的“叠加”性质。孤立波是非线性方程——KdV方程的解，因此人们推测，当两个孤立波相遇时，它们将相互影响，导致波形被破坏殆尽。这样的孤立波是不稳定的，它对描述自然现象没有多大帮助，于是，虽然孤立波的数学表示被找到了，但孤立波仍被人们打入了“冷宫”。