曼德尔布罗与分形

虽然上述“病态”图形——现在人们称之为“分形”——早在上一世纪就为人们所发现，但是分形几何学的创始人当推当代美籍法国数学家曼德尔布罗。1973年，他在法兰西学院讲课期间，提出了分形几何学的思想。他并且为“病态”图形正命，创造了fractal一词来命名这门几何学所研究的对象。fractal与英语中的fraction及fragment具有相同的词根，据曼德尔布罗的解释，意为“不规则的”、“支离破碎的”。我国大陆地区的学者经过这几年的切磋，现在认为把它译为“分形”比较妥当。

分形几何学借助经典几何学中的一些概念，发展起了自己的一套研究分形的数学工具，其中最主要的就是“分维”。

分维是由经典几何学中的“维数”概念发展而来的。我们知道，在直线上，只有长度这样一个度量，因此我们说直线是1维的，类似地，一般的曲线也是1维的；在平面上，有长和宽两个度量，于是我们说平面和平面图形是2维的，类似地，一般的曲面也是2维的；在空间，则有长、宽、高三个度量，于是空间和空间立体图形是3维的，我们常说3维立体空间，就是这个意思。我们看到，在经典几何学中，维数只能取1、2、3这些正整数。

在分形几何学中，分形的维数称为“分维”，它们可以取为正实数，而且有着好几种不同定义的分维。如在某种分维定义下，科克雪花曲线的分维近似地等于1.2618，谢尔宾斯基“垫片”的分维近似地等于1.5849，谢尔宾斯基“地毯”的分维近似地等于1.8927，谢尔宾斯基“海绵”的分维近似地等于2.7268。

比较这些分形以及它们的分维，可知这种分维是分形复杂程度和空间填充能力的一种量化描述。其他一些分维则从不同的角度刻画了分形的各种特征。

这20多年来，在科学家们的持续努力下，分形几何学的发展十分迅速。它不但在理论研究方面取得了不少重要成果，而且在大地形貌、晶体生长、晶界形貌、催化剂结构、材料断裂机理、凝聚体结构、人体血管分布等方面的研究中得到了广泛的应用。特别在计算机图形生成技术中，用分形几何学原理由计算机绘制出来的图画，别有风味，奇妙无比，可自成一艺术流派。

计算机生成的分形图案