4.1.2　导纳圆法等效电路模型参数获取

2025年09月26日

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导纳圆法已广泛用于石英晶体的谐振频率特性测试中,从压电变压器的等效电路模型中容易看出,当把等效电路模型中的输入端或输出端短路时,等效电路和石英晶体的等效电路模型一致,所以利用导纳圆法进行压电变压器的频率特性测试是获取等效电路模型的参数值的有效方法之一。且该方法只需一台阻抗分析仪,不需要其他辅助仪器设备,可操作性较高。

1.压电变压器的导纳圆

将压电变压器的输出端短路,等效电路模型如图4.1所示,用交流电路的复数表示研究等效电路的总导纳。设压电变压器的总导纳、静态导纳和动态导纳分别为Y、Y 0和Y 1,则

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式中:b 0表示静态电纳;g 1表示动态电导;b 1表示动态电纳;ω为角频率。

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图4.1　压电变压器输出端短路的等效电路模型

整理式(4.3)有

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等效电路总导纳可写成

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将式(4.4)、式(4.5)化简得

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将上式配方可得方程

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定义横坐标表示电导G,纵坐标表示电纳B。当频率改变时,式(4.8)的轨迹是一个圆心在 pagenumber_ebook=56,pagenumber_book=47 的圆。

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图4.2　压电变压器输出端短路时的导纳圆图

动态导纳Y 1的相矢端在图4.2中的虚线圆上。由式(4.8)可知,当动态电纳b 1=0时,方程解对应有g 1=0或g 1=1/R m,因压电变压器工作过程中总要辐射能量,所以g 1=0不存在,只有g 1=1/R m。由式(4.4)可知,此时对应的频率满足条件ωL r-1/ωC r=0,即ω=ωs=1/, 该频率称为串联谐振频率或机械谐振频率。

从式(4.4)和式(4.5)可知,动态导纳Y 1的相矢端的轨迹随频率增加按顺时针方向变化。通常压电变压器动态支路的品质因数较大,动态导纳Y 1相矢端旋转一周时,静态导纳Y 0相矢终端随频率变化很小,近似认为静态导纳Y 0=jωC in为一个常数。于是把动态导纳Y 1在复平面上的轨迹圆沿纵轴移ωC in,可得到压电变压器导纳Y的相矢终端随频率变化的轨迹圆,即导纳圆,如图4.2中的实线圆所示。图中标记的参数定义如下:

·f m:最大导纳频率,导纳圆中距离坐标原点最远点所对应的频率;

·f n:最小导纳频率,导纳圆中距离坐标原点最近点所对应的频率;

·f s:串联谐振频率， pagenumber_ebook=56,pagenumber_book=47

·f p:并联谐振频率， pagenumber_ebook=56,pagenumber_book=47

·f r:谐振频率,电纳为零时,电导较大值对应的频率;

·f a:反谐振频率,电纳为零时,电导较小值对应的频率;

·f-45和f+45分别为过圆心垂直G轴作直线交导纳圆两点对应的频率。

2.参数测试理论与方法

在图4.1压电变压器输出端短路的等效电路中,当给输入端加入一低频信号时,谐振支路中的电感L r的阻抗近似为零。通常谐振支路中的电容C r的阻抗远大于损耗电阻R m,此时输入端的阻抗特性只反映内部电容特性,定义该状态下测出的电容值为C t,显然有

由串联谐振频率和反谐振频率二者的关系式可以推得

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所以有

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而

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用该方法进行参数计算,从导纳圆中获取串联谐振频率和并联谐振频率值最为关键,但是并联谐振频率值很难通过测试手段直接获取。而图4.2所示的导纳圆中的谐振频率和反谐振很容易测出。下面对利用谐振频率和反谐振频率计算模型参数的可行性进行理论分析。

根据谐振频率和反谐振频率的定义,由式(4.6)可知,谐振角频率ωr和反谐振角频率ωa应满足:

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设y=ω2,整理上式有

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