函数综合例题应用

函数综合例题应用

上海市行知中学　严卫东

一、教学目标

（一）知识与技能

1.二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等知识点的综合应用.

2.函数与高中数学其他知识点，如不等式、数列、三角、向量、解析几何等知识点的综合应用.

（二）过程与方法

1.通过函数基本性质的综合应用，加深对函数本质的理解与应用，进一步领悟与把握高中各数学分支间的内在联系.

2.通过函数基本性质的综合应用，探求函数丰富的数学思想与培养人的核心素养方面的育人功能.

（三）情感、态度与价值观

1.通过学生主动学习构建和优化知识结构，教师注重学生在课堂问题变化过程中的问题生成与解决.

2.通过组织学生小组对综合问题进行探索，在课堂问题生成—解决—产生新问题螺旋式上升的过程中培养学生之间合作交流的精神，感受攻坚的快乐.

3.教师要在课堂关注每个学生，给学生更多的机会锻炼他们的求异思维、表达能力等，以适应新高考招生与改革.

二、教学重点与难点

（一）教学重点

函数的性质与不等式、数列、三角、向量、解析几何等知识点的综合应用.

（二）教学难点

不等式、数列、三角、解析几何等内在函数思想的探索.

三、教学方法与教学手段

（一）教学方法

以学生为主体，注重课堂问题生成与解决，着力培养学生思维的深度与广度.

（二）教学手段

问题驱动、学生主动、交流互动、探究解疑.辅助多媒体教学.

四、函数综合问题例解

例1　已知函数f（x）=a·bx的图像过和B（5，1）.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）记an=log2f（n），n是正整数，Sn是数列{an}的前n项的和，解关于n的不等式anSn≤0；

（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列{anSn}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

说明：（1）（2）两小题考查基本的函数、对数、不等式及方程的知识与方法，难度不大，可由学生自行解决.

第（3）小题：

学生：三次方程2n（n-5）（n-9）=96目前没有能力解决.

教师：请大家先思考并且尝试探索.

学生A：可以代数字，从n=10起，2n（n-5）（n-9）的值超过10且不断变大，而前9项代入后等式都不成立.

教师：很不错，不过怎么才能严格说明当n＞10之后，等式一定不成立？

学生B：可以构造函数h（n）=2n（n-5）（n-9），其图像可由几何画板给出.

学生C：可以构造数列an=2n（n-5）（n-9），研究其增减性即可严格说明.

解：（1）列方程组解得a=4-5，b=4，所以f（x）=4x-5.

分析：此小题是函数与数列的综合.理解数列是特殊类函数是解决问题的起点.这样很多的数列问题，可以用函数的某些特性去解决.f（x）含有两个未知量a、b，又已知A、B两点，所以通过待定系数法可求.常规方法，由学生谈论可得，教师不用多提示.

(2)∵an=2n-10，∴Sn=n(n-9)，∴anSn=2n(n-5)(n-9)≤0，∴5≤n≤9(n∈N)，∴n=5，6，7，8，9.

分析：f（n）是个过渡，懂此符号意义即可，主要是为了给出数列{an}，顺便考查了对数的运算.也是由学生谈论可得.

(3)∵a1S1=64，a2S2=84，a3S3=72，a4S4=40，

又当5≤n≤9时，anSn≤0，且当n≥10时，anSn≥a10S10=100.

∴96不是数列中的项.

分析：此小题在选择方法时学生感到困难，三次方程2n（n-5）（n-9）=96目前学生没有能力解决，不少学生在此搁浅.把h（n）=2n（n-5）（n-9）看作关于n的三次函数，其图像可由几何画板给出.尤其当anSn=2n（n-5）（n-9）看作关于n的三次函数，其图像可由几何画板给出.发现当n≥9时，h（n）=2n（n-5）（n-9）的图像是递增的是解决问题的关键点.教师要通过学生之间的讨论自然生成.

课堂问题生成一：什么是待定系数法？

课堂问题生成二：方程n（n-5）（n-9）=48不会解，还有什么思路可以判定96是否是数列{anSn}中的项？第二问的结论有用吗？

课堂问题生成三：学生在第三小问中提出用计算器TABLE功能，老师没有实践过，所以课堂内布置学生小组课后研究一下，下节课再交流.

例2　已知向量，则向量与夹角的取值范围是（　　）.

学生：根据夹角公式得即建立起θ关于α的函数关系式，但很难化简.

教师：思路很好，但既然遇到阻碍，那怎么办？

学生：}，∴点A轨迹为（x-2）2+（y-2）2=2，以下可以结合图像，很容易获得答案.

教师：很好，数形结合是高中数学解题过程中的基本思想方法之一，当我们从代数角度研究问题遇到困难时，往往可以分析其图形，利用图形的直观性探究解题思路.

解

∴点A轨迹为（x-2）2+（y-2）2=2.

数形结合，设直线方程，用点到直线距离计算相切时的斜率，再将斜率转换成角度即可.故选D.

分析：此题是函数与向量的综合.求向量夹角一般方法：根据夹角公式得cosθ=，则很难化简，θ的范围不容易求出.至此解题陷入僵局，还有其他求角途径吗？

课堂问题生成四：是已知的，那么如何表示？

课堂问题生成五：位置向量和点A的坐标有何联系？

分析：发现点A的轨迹是关键.本题体现思维的灵活性，培养学生逆向思维的能力.当常规代数方法行不通的时候，要考虑其他途径，数形结合是常用方法.要熟悉代数形式背后的几何意义，用图像直观解决问题比较快捷.

例3　已知函数是奇函数，f（x）有最大值

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在直线l与函数y=f（x）的图像交于P、Q两点，并且使得线段PQ的中点为（1，0）.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴c=0.

∴f（x）的最大值一定是在x≠0时取得，此时∵b∈N，∴有最小值2b.∴当a＞0且x＞0时取得最小值2b，此时，∴a=b2.

∵

∴a=1，∴(https://www.daowen.com)

分析：此小题是函数与解析几何的综合题.要用待定系数法求a、b，题中三个条件的转化不容易，f（x）有最大值，若用判别式则运算量大，要充分利用b∈N这个条件.

（2）假设存在满足题意的直线l.

设P（x0，y0），不妨令x0≥0，∴Q（2-x0，-y0）.

由且，消去y0整理得

∴

∴所求直线方程为：x-4y-1=0.

课堂问题生成六：a的符号如何确定？

解后回顾：探索性问题的一般解法：先假设结论成立，然后根据已知逐步推理，若导出合理结论，则表明假设成立，若导出矛盾结论，则表明假设不成立.

例4　对于定义D上的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b].那么把函数y=f（x）（x∈D）叫作闭函数.

（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）若函数是闭函数，求实数k的取值范围.

学生：闭函数的定义读不太明白.

教师：可通过实例来反向促进对新定义的理解，比如y=x，y=x3.

教师：第（2）小题，说明一个命题不成立，只要举一个反例即可.

学生：第（3）小题，由⇒=k+=x⇒x2-（2k+1）x+k2-2=0，由Δ＞0无法获得正确答案.

教师：等价性错误，并非在实数集上有相异根，建议数形结合，转化成两条曲线的交点问题.

解：（1）y=-x3是递减函数，所以由b＞a解得b=1.

∴所求闭区间为[-1，1].

分析：通过解决简单问题，加深对闭函数概念的理解.发现y=-x3在区间（-∞，+∞）上是单调递减函数，依此建立方程组，在解方程时注意区间概念要求a＜b.

（2）不是单调函数.

所以f（x）不是闭函数.

分析：为常见“耐克”函数，不是单调函数，而闭函数必须首先满足是单调函数，故举反例即可.（有不少学生从正面证明，对假命题只需要举反例用得比较少，掌握不到位，今后要注意训练）

（3）∵函数在区间[-2，+∞]上单调递增，

∴由f（a）=a，f（b）=b，即

上式等价于：a、b是方程的两个相异实根.

等价于：两条曲线、y2=x-k有两个不同交点.

y1表示双曲线y2-x2=2在x轴上方部分，y2表示斜率k=1的平行直线系.

当直线y2经过点（-2，0）时，k=-2.

当y2与y1相切时，由=x-k得x2-（2k+1）x+k2-2=0.

∴Δ=0，即

∴

分析：得到方程的两个相异实根后，若对此式两边平方后可整理为关于x的带参量a的一元二次方程，则求k的范围需要多步讨论，比较烦琐.如何改进这个解法？这里用数形结合比较简捷.

思考题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，f（0）=3，且直线y=5x+1与f（1）的图像相切于点（2，11）.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若f（n）为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；

（3）求的值.

分析：确定函数f（x）的表达式，需要三个条件，题目已知“直线y=5x+1与f（x）的图像相切于点（2，11）”，实际含有两个条件：（1）f（x）经过点（2，11），（2）两曲线相切.

解：（1）∵f（0）=3，∴c=3.

又∵f（x）经过点（2，11），∴11=4a+2b+3，即b=4-2a.∴f（x）=ax2+（4-2a）x+3.

又∵f（x）与直线y=5x+1相切，

∴ax2+（4-2a）x+3=5x+1，即ax2+（-2a-1）x+2=0.

由Δ=0得，∴b=3.

∴

(2)∵

∴当n=1时，；当n≥2时，an=f（n）-f（n-1）=n+.

an

（3）当n≥2时，

五、课堂小结（学生归纳，教师补充）

上海高考经常在知识的交汇点处考查学生的能力，函数由于其知识特性，可以将不同章节的知识进行有机地结合，对学生的思维深度、广度和灵活性都提出了很高的要求，日常学习过程中要有意识加强此方面训练，掌握常见的处理问题的思想方法.

六、课后作业

完成配套练习1.

七、教案设计说明

（一）教学背景

高三数学复习第一轮结束，启动第二轮专题复习.函数思想是物质世界运动变化的抽象反映，对学生形成辩证的世界观有重要作用.函数又是近几年高考的重中之重，所以必须非常重视.上海高考经常在知识的交汇点处考查学生的能力，因此本人根据所教班级学生的学情，安排本节内容.

（二）选题理由

任何一个好的教案首先要切合学生的实际情况.作为平行班学生，他们基本知识的掌握是合格的，但他们大多缺少对问题的主动探求和思考，更不注重对各知识点之间内在联系的研究.缺少联系，学生对知识的理解总停留在浅层次上，而且也容易遗忘.针对上海数学高考常在知识交汇处考查能力的情况，选择本课题并联系数列、向量、解析几何、三角等多个知识点复习.

课堂的时间很有限，选例题既要考虑知识点的覆盖要面广，更要注意其中思维方法的灵活多样.例1是函数与数列的交汇题，一题三问，环环相扣，信息量大，高考重点.多次月考中学生失分多.例2是函数与向量结合的问题，使用数形结合，思维多元化.培养学生的灵活性.例3是函数与解析几何结合的问题.难度较高，教师要注意合理引动，设计合理的问题驱动.例4闭函数概念课本没有介绍，培养学生自我解读概念、分析题目主旨的能力.

（三）表面的热闹不一定是一节成功的课

一节好课，教师必须把思维的时间、空间留给学生.以问题为先导，引导学生在安静中展开思考.当原有的认知和课堂内容冲突时，会激起学生求知的欲望，若教师所讲太抽象时，学生会陷入迷茫和疲惫.所以问题设计的台阶要合理.

八、板书设计

九、专家点评

函数是高中数学学习中的重点内容之一，函数的思想方法贯穿了整个高中数学学习过程，也是高考的主要考查内容之一.本课的教学内容立足于函数，又涉及了其与数列、向量、解析几何等内容的综合，内容选择贴合教学实际，课堂教学的过程也充分考虑了学生的知识水平与学习能力，并且在引导学生分析解决问题以及分配课堂教学时间让学生充分思考探索的环节上处理得非常成功.