用复数模的几何意义解决曲线问题
一、教学目标
（一）知识与技能
利用复数模的几何意义解决曲线问题.
（二）过程与方法
1.充分利用复数模的几何意义，将复数的有关代数问题进行几何转化，渗透数形结合思想方法；
2.联系解析几何中相关曲线的定义，培养学生类比、迁移和知识的综合运用能力.
（三）情感、态度与价值观
二、教学重点与难点
（一）教学重点
用复数模的几何意义解决曲线问题.
（二）教学难点
用复数模的几何意义解决曲线问题.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
SMART电子白板多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）数学探究、引入新知
1.复习引入
教师：在解析几何中我们学过哪些曲线？
学生：直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线.
教师：这些曲线的定义是什么？
学生：圆——平面内到一个定点的距离等于定长的动点的轨迹.椭圆——平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长2a（0＜|F1F2|＜2a）的动点的轨迹.双曲线——平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（0＜2a＜|F1F2|）的动点的轨迹.抛物线——平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l（点F不在直线l上）的距离相等的动点的轨迹.
教师：那么这些曲线的标准方程和图像是什么？
说明：
1.通过复习，回顾解析几何中我们学过的几种曲线，它们的定义、标准方程和图像.
续表
续表
教师：复数的模及其几何意义是什么？
学生：复数z=a+bi（a、b∈R）所对应的点z（a，b）到原点的距离叫作复数的模.
教师：由复数模的定义知，复数z=a+bi（a、b∈R）的模与表示复数z=a+bi（a、b∈R）的向量
的模是一致的.
教师：两个复数差的模的几何意义是什么？
学生：若复数z1、z2在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2，则
，即|z2-z1|表示点Z2与Z1之间的距离.
2.探究新知
今天我们用复数模的几何意义来研究前面所学的解析几何方程问题.
例1 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？
2.复数、向量和点的坐标可以说是三位一体，向量可以用坐标平面上的点表示，复数可以用复平面上的向量表示，也可以用点表示.但是点无法运算，向量可以进行加减法运算，复数可以进行加、减、乘、除四则运算，且其运算结果还是复数（向量的数量积不是向量而是数）.因此，复数、向量和点既三位一体，在运算性质上又有差异.
3.复数与解析几何中的曲线方程有密切联系，例1通过复数模的几何意义推导出几种常见曲线的复数形式方程.
解：（1）动点Z的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆.
（2）动点Z的轨迹是以（-1，1）为圆心，以3为半径的圆的内部.
（3）动点Z的轨迹是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆外部分与以（0，2）为圆心，以5为半径的圆内部分（含边界）的公共部分.
（4）动点Z的轨迹是以（1，0）、（-1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.
（5）动点Z的轨迹是以（4，0）、（-4，0）为焦点，实轴长为2的双曲线.
（6）动点Z的轨迹是以（1，0）为焦点，准线方程为x=-1的抛物线.
（7）动点Z的轨迹是直线y=4.
（8）动点Z的轨迹是以（3，0）、（0，-3）为端点的线段的中垂线.
（二）运用新知、解决问题
练习1：在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？
解：（1）动点Z的轨迹是以（-2，5）为圆心，以2为半径的圆.
（2）动点Z的轨迹是以（1，1）为圆心，以3为半径的圆及其外部.(https://www.daowen.com)
（3）动点Z的轨迹是以（-1，3）为圆心，以2为半径的圆外部分（含边界）与以（-1，3）为圆心，以5为半径的圆内部分（含边界）的公共部分.
（4）动点Z的轨迹是以（0，1）、（0，-1）为焦点，长轴长为4的椭圆.
（5）动点Z的轨迹是以（0，4）、（0，-4）为焦点，实轴长为2的双曲线的下支.
4.通过配套练习1，了解学生对新知的掌握程度.
（6）动点Z的轨迹是以（0，3）为焦点，准线方程为y=-3的抛物线.
（7）动点Z的轨迹是以（0，3）为圆心，以
为半径的圆.
（三）课中小结（由学生小结，得出结论）
几种常见曲线的复数形式方程：
（1）线段中垂线：|z-z1|=|z-z2|；
（2）圆：|z-z0|=r（r＞0）；
（3）点：|z-z0|=r（r=0）；
（4）无轨迹：|z-z0|=r（r＜0）；
（5）圆盘：|z-z0|＜r（r＞0）；
（6）圆环：r＜|z-z0|＜R（0＜r＜R）；
（7）椭圆：|z-z1|+|z-z2|=2a（0＜|z2-z1|＜2a）；
（8）线段：|z-z1|+|z-z2|=2a（0＜|z2-z1|=2a）；
（9）无轨迹：|z-z1|+|z-z2|=2a（0＜2a＜|z2-z1|）；
（10）双曲线：
（11）射线：
（12）无轨迹：
（13）抛物线：|z-z1|=|Rez+Rez1|（Rez1≠0，Imz1=0）或|z-z1|=|Imz+lmz1|（Rez1=0，Imz1≠0）；
（14）直线：|z-z1|=|Rez-Rez1|或|z-z1|=|Imz-Imz1|.
（四）继续探究、深化新知
练习2：在复平面内，点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，且z2=2z1+3-4i，|z1|=1，求点Q的轨迹.
解：∵z2-（3-4i）=2z1，∴|z2-（3-4i）|=|2z1|=2.
因此点Q的轨迹是以（3，-4）为圆心，2为半径的圆.
（五）复习小结、巩固训练
1.由教师或学生根据本节课所学内容进行适当小结.
2.作业布置：练习册P64（10，11）.
5.由学生小结，得出几种常见曲线的复数形式方程.
6.本部分内容将视课堂具体情况而调整.如果时间来不及，则作为思考题留在课后完成.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
复数是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础.本节课的教学指导思想是努力挖掘教材的内涵美妙之处，充分发挥其功能，复数的概念来自数学内部对运算与解方程的需要，它的几何表示则来自数形结合思想与坐标方法，这使得复数必然以代数中运算、方程、直角坐标系、集合等知识为基础，而且必然与平面几何、平面解析几何之间有着密切的联系，所以学习这部分知识，将是对代数、平面几何、平面向量、平面解析几何中有关内容的一次复习、巩固和应用.复数的加法、减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、复数的坐标表示及其加减运算，与向量、向量的坐标表示及其加减运算完美地统一了起来，使学生领悟到数学知识发生与发展过程中的思想方法和数学的和谐美、简洁美，培养精益求精的治学态度和勇于探索的精神.
（二）学情分析
本节课教学内容是在学生学习了复数的概念、坐标表示及加减法运算基础上设计的，是对复平面上两点间距离的引申.通过复习|z2-z1|的几何意义，将复数的有关问题进行转换，渗透数形结合的思想方法.
（三）教法与学法分析
建构主义观点在高中数学课堂教学中实践的教学方法.在学生初步掌握复数的加法运算法则和几何意义的基础上进行逆向思维的训练和变式训练，通过平面向量的减法运算类比复数的减法运算，使学生逐步建构减法运算法则和几何意义，这样就突破了教学难点.
众所周知，解析几何的诞生是数学发展的一个里程碑，它为微积分的诞生创造了条件.前一章同学们已经很系统地从“数”“形”两方面研究了解析几何问题，本节课我希望通过电子白板的拖曳、擦除、书写、标注、放大、聚光灯、存储和投影等功能，使同学们能充分利用复数模的几何意义，联系解析几何中相关曲线的定义，将复数的有关代数问题进行几何转化；培养学生类比、迁移和知识的综合运用能力，进一步体会数形结合的思想.最后通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣，从学习的过程中提高自己的数学思维能力，大大提高了课堂的效率.
七、板书设计
用复数模的几何意义解决曲线问题
两个复数差的模的几何意义是什么？
若复数z1、z2在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2，则
|，即|z2-z1|表示点Z2与Z1之间的距离.
例1：（1）|z-1|=2
……
练习1：（1）|z+2-5i|=2
……
练习2：在复平面内，点P、Q所对应……
八、课堂反思
前几节课我们从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我带领着同学们从“形”的角度进一步研究复数模的几何意义.
根据上述“复数的几何意义”的教学设计开展教学，课堂效果好得出乎我的意料，同学们都认真思考、思维活跃，积极参与到其中，课堂练习大家也掌握得非常好，连来听课的老师都感觉同学们对数学有着浓厚的兴趣.课后作业更是充分反映出同学们课上掌握得非常不错.
（一）加强探究教学，促进学生理解
数学课堂教学，首要问题是学生的理解，无论是概念、公式、定理，还是思想方法，必须要理解，否则只能生搬硬套，无法灵活运用.怎样才能促进学生的理解呢？我认为要合理设计问题，引导学生自主探究，学生通过探究获取新知，他们的理解才能更深刻，运用才能更灵活.教师的主要任务是问题引导，学生主要是分析问题，课堂结论大部分是由学生自己发现的.
（二）注重知识生成的方法教学
“授之以鱼，不如授之以渔”，意思是教给学生方法比教给学生知识更重要.一些数学知识学生不可能终身记忆，而学生所学的一些数学思想方法却能终身受益，借用这些思维方法可以更合理地解决生活中的问题；其次，要想真正地获取数学知识并长久不遗忘，靠死记硬背是不行的，学生只有掌握了获取知识的方法，对知识的理解才能更深刻，记忆才会更长久，即使偶尔遗忘，也有可能通过一定的方法重新演绎还原，正所谓：有“渔”才有“鱼”.本节课不仅让学生获得复数的几何意义，更让学生学会了由特殊到一般的归纳手段.
九、专家点评
本课是在学生学习了复数的概念、坐标表示及加减法运算基础上设计的，是对复平面上两点间距离的引申.使学生充分利用复数模的几何意义研究解决解析几何中相关曲线的问题，渗透数形结合的思想方法，同时培养学生类比、迁移和知识的综合运用能力.教学目标定位准确、要求具体、效果明显，从双基落实到能力提升，由浅入深、层层递进.
选题精当，紧扣教学目标，从学生已有知识入手，充分利用|z2-z1|的几何意义，将复数问题转换为几何问题来解决，渗透数形结合思想.巧妙利用变式将14种类型进行了有机整合，设计由简到繁、层次感强.
本节课最突出的优点在于构建了习题的双基模块，对于复数模的几何意义这一知识点，通过梳理题目类型，经过提炼、选择和有效组织，将能够遇到的不同曲线类型归纳到一道例题中，通过一题多支的形式体现出来，做到了将数学知识由原始形态到教育形态的转变，促进了课堂教学的有效性.