排列组合中分类与分步的几例探究
一、教材分析
高中教材中的计数问题核心是：分步——乘法，分类——加法.在排列组合的学习中，由于对问题的视角不同，会有不同的分类方式，或者有不同的分步次序完成某事件.这样就产生了各种不同的解法，形成教学的难点.
二、学情分析
由于分类标准不唯一，分步次序可不同，学生会感到混乱，无从着手.学生计算出的结果，和实际答案有出入，甚至不能找出遗漏或重复部分，这样就无法自我发现和改正错误.本节课意在通过一题多解的方式，让学生对排列组合中的分类和分步有一定的体会；对排列组合中有关解题方法进行归纳、总结；能自我发现和解决问题，能自我发现和改正错误.
三、教学意图和目标
1.初步教会和让学生体会计数基本方法：分步——乘法，分类——加法.
2.培养学生分步的意识和分类的思想，培养学生严谨的思维习惯和多角度思维的探究精神.
3.让学生尝试和体验观察、归纳、探究、推理和反思等数学思维过程.培养学生自主探究问题和独立实践的能力，培养学生自我反思的批判精神.
四、教学过程
（一）概念回顾
1.加法原理
如果完成一件事需要n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
问题：完成某件事的办法能有不同的分类方式吗？
2.乘法原理
如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.
问题：分步能有不同的次序吗？
（二）例题分析
例1 某班有52名学生，其中正副班长各一人，现选派5名学生参加课外活动，如果正副班长中至少有一人在内，有多少种不同的选派方法？
解法一：以正副班长中被选中几人作为分类标准，分两类：
①正副班长均被选中，方法数：
②正副班长中仅有一人被选中，方法数：
列式：
解法二：以正班长是否被选中作为分类标准，分两类：
①正班长被选中，不必考虑是否选中副班长，方法数：
②正班长未被选中，此时必须选中副班长，方法数：
列式：
由解法一、解法二可看出，由于分类时选择的标准不同，对同一问题有不同的解答方法.若换一个角度，还有以下解答方法.
解法三：总体上用排除法.总方法数：
，从中排除掉不满足条件的方法数，即正副班长均未被选中的方法数
列式
解法四：局部上用排除法.正班长被选中的方法数
，加上副班长被选中的方法数
而正副班长均被选中的方法数
重复计算，需扣除.列式：
1.师生行为
（1）由于分类标准不同、思维习惯相异，解法一和解法二学生应能自主想出.但一定要引导学生思考两个问题：分类中有重复计数的吗？分类中有遗漏计数的吗？培养学生严谨的思维习惯.
（2）有的学生可能会以副班长是否被选中作为分类标准，实际上此方法和解法一雷同.
有学生可能会分如下三类：只有正班长被选中，只有副班长被选中，正副班长均被选中，此方法也和解法一雷同.
（3）解法三是典型的排除法，由于平时训练较多，学生容易想出.解法四中要求扣除重复计数部分
，可能有部分学生无法理解，可用图5-5（文氏图）帮助学生理解.
用n（I）表示从52个学生中选出5人的方法数；
用n（A）表示从52个学生中选出5人，且正班长被选中的方法数；
图5-5
用n（B）表示从52个学生中选出5人，且副班长被选中的方法数.
则图中阴影部分即为从52个学生中选出5人，正副班长至少一人被选中的方法数， 即n（A∪B）.
2.课堂变化及应变处理
（1）有同学可能会从侧面分析：52名学生中选派5人，必有47人未被选中.此题转化为从52个同学中确定47个不参加课外活动，要求正副班长最多一人不参加.分两类：正副班长中0人不参加或1人不参加这项课外活动.列式：
此方法可行但较烦琐.
（2）可能有学生会从如下方式思考：为保证正副班长中至少有一人被选中，可分两步，先从正副班长中选出一名，这样就保证满足条件，然后再从剩下51人中选出4人，列式：
若学生出现此错误，一定要引导学生自己找出重复计数的部分，只有这样才能保证学生下次不发生此类重复计数的错误.
3.归纳与小结
通过此例可看出，完成某件事有不同的分类方式时，有不同的解答方法.
例2 某班有30名男同学和20名女同学，现决定从中选出4名男同学、3名女同学，分别担任班长、学习、生活、文艺、体育、劳动、宣传委员，共有多少种不同的方法？
分析：本题中把班长、学习、生活、文艺、体育、劳动、宣传委员七种职位当作七个位置，实际上本题可理解为从50个元素中按要求选出7个元素排列在这7个位置上.
解法一：先按要求选出7个元素，再排列.列式：
解法二：先选出男生进行排列，再选出女生进行排列.列式：
解法三：先选出女生进行排列，再选出男生进行排列.列式：
我们知道：完成某事件进行分步时，需要用乘法原理，但由于分步的次序不同，会产生不同的解答方法.若换一个角度思考问题，本题还有如下解答方法.
解法四：先选7个位置中的4个位置排男生，然后再排女生.列式：
1.师生行为
（1）解法一学生最应想到，先选好元素，再排列元素，思路清晰明了，学生出错可能性最少，应让学生重点掌握.
（2）解法二和解法三雷同，有同学解法二可列式：
，解法三列式：
或
其反映了排列和组合的联系，也是可行的.
2.课堂变化及应变处理
（1）解法二学生可能会错误列式：
.此错误计数有遗漏，男生可供选择的位置只有4个，与题意不合.解法三学生可能会列式：
.亦犯同样的错误.
（2）有学生可能会把处理这事件步骤分得更细：先选出男生所排位置，再选好男生，且排好男生，再用同样方法处理女生.列式
亦是可行的.
3.归纳与小结
通过此例可看出，完成同一件事有不同的分步方式时，对应有不同的解答方法.
例3 把字母a、b、c、d、e、f、g7个元素排成一列，要求a不在首位，b不在末位，求方法数.
解法一：从特殊元素——a考虑.由于a不能排首位，则a的排法可分两类：排在中间5位或排在末位.
①a排中间5位，方法数：
②a排末位，方法数
列式
解法二：从特殊位置——首位考虑.首位不能排a，则首位排法可分两类：排b或其他5个元素.
①首位排b，方法数：
②首位排其他5个元素，方法数：
列式：
(https://www.daowen.com)
解法一和解法二虽然列式一样，但思考问题的角度截然不同.若再换一个视角，还可以用排除法解答此题，如图5-6所示.
用n（I）表示7个元素的全排列数；
用n（A）表示a在首位的排列数；
用n（B）表示b在末位的排列数.
则图中阴影部分即为a不在首位，且b不在末位的方法数，即
图5-6
解法三：对全体方法数分类，使用排除法.7个元素的全排列数n（I），减去a在首位的方法数n（A）和b在末位的方法数n（B），但其中a在首位且b在末位的方法数n（A∩B）被重复计算，如图5-6所示.
即
列式：
解法四：再换一种角度，如图5-6所示，求阴影部分对应的方法数，可用全体排列数n（I）排除a在首位的方法数n（A），再排除b在末位但a不在首位的方法数
即
列式
1.师生行为
（1）解法一中，特殊元素a排在中间5个位置还是末位，对元素b的排法是有影响的，须对其进行分类.解法二中，特殊位置首位排b还是其他的5个元素，对末位的排法是有影响的，须对其进行分类.
（2）解法一是对特殊元素的排法进行分类，解法二是对特殊位置的排法进行分类，列式相同，但思考问题角度不同.
（3）解法三中，a在首位且b在末位被重复扣除，可结合文氏图帮学生找出重复计数的部分.
（4）解法四学生较难想到，可通过文氏图对学生进行引导.
2.课堂变化及应变处理
（1）有的学生可能会对特殊元素a、b的排法有如下更为细致的分类：
①若a和b排在中间的5个位置，有
种排法；
②若a在末位，b在中间5个位置，有
种排法；
③若b在首位，a在中间5个位置，有
种排法；
④若a在末位，b在首位，有
种排法.
列式
此方法较烦琐，但仍是可行的.
（2）有学生可能会想到对局部进行分类.可使用另一排除法，如下：
a不在首位的方法数为
即
则
列式：
3.归纳小结
通过本例题可以看出：分类时，选择特殊元素还是特殊位置作为分类标准，是正面考虑还是侧面着手（直接还是间接）；是整体分类还是局部分类，均有不同解答方法.
例4 如图5-7所示，椭圆被均匀分成A、B、C、D四块，分别涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，使公共边相邻两格颜色不同，求方法数.
分析：由于涂A、B、C、D四格次序不同，会有以下几种解法.
图5-7
整体分步，局部分类：
解法一：按A→B→C→D次序涂满四格，在涂C格时，分与A同色与异色两类.
列式
解法二：按A→C→B、D次序涂满四格，在涂C格时，分与A同色与不同色两类.
列式：
解法三：按A→B、D→C次序涂满四格，在涂B、D格时分B、D是否同色两类.
列式：
整体分类，局部分步：
解法四：总体上分三类，三类依次为四格中涂四色、涂三色、涂二色，方法数依次为：
.列式：
解法五：对A、C是否同色可以分两类.此方法与解法三有雷同之处.列式：
1.师生行为
（1）解法一总体上分4步，但第3步对C涂的颜色是否和A同色，对第4步对D涂色会产生不同影响，须对第3步进行分类.解法二和解法三，同样道理，须对第2步进行分类.
（2）有同学会按A→D→C→B次序涂满四格，或者按B→D→A、C次序，方法雷同.
2.课堂变化及应变处理
解法一、二、三中，学生最易犯的错误是没意识到一定要对局部进行分类，例如解法一中学生可能列式为
犯此错误的原因是没意识到A、C同色或者异色对涂D是有影响的.此错误发生时，一定要引导学生自己找出遗漏部分.
3.归纳与小结
本题是一个综合性较强的题目.解法一、二、三是整体分步，局部分类；而解法四、五是整体分类，局部分步，方法可谓不拘一格.
例5 从6双颜色互不相同的鞋子中任取4只，求只有两只配成一对的方法数.
分析：为解决问题方便，设6双鞋左鞋依次为A、B、C、D、E、F；相对应右鞋依次为a、b、c、d、e、f.
解法一：整体分步.按以下次序：先取一双，再取一只，再取另一只完成此事件.列式：
解法二：整体分步.先取一双，由于另两只不能配对，可先取出两双，再从两双中各取一只.列式
解法三：整体分类.由题意从左鞋可以取出一只、二只、三只，分三类情况，方法数依次为
.列式
解法四：整体分步，局部分类.先取出成对的一双，再取出不成对的两只时，对从左鞋中取出几只进行分类.列式：
解法五：整体上分两步，第二步使用排除法.先取出一双后，再取出两只时方法数为
，排除这两只成对的情况.列式
解法六：总体上分类，12只鞋子取出4只，有几只配对分类，可使用另一排除法：
一共方法数为
列式：
1.师生行为及课堂变化应变处理
（1）解法一中，学生可能错误列式为
.学生犯了把组合问题理解成排列问题的错误，一定要帮学生找出重复计数部分.培养学生反思和自我批判的意识.
（2）解法三、解法四、解法六，学生较难想到，可根据课堂实际情况进行取舍.
2.归纳与小结
该题的六种解法中，解法一、二、三、四是直接法，解法五、六是间接法.无论是直接法还是间接法中，是分类还是分步，分类标准不同，分步次序不同均会产生不同的解答方法.
五、课堂归纳与小结
高中阶段学生学的计数问题，不外乎分步时做乘法，分类时做加法.但由于视角不同，是分类还是分步，分类标准不同，分步次序不同，均会产生不同的解法.甚至整体分类，局部分步；或者整体分步，局部分类，均会产生不同的解答方法.是正面考虑，还是侧面着手，会产生直接法或间接法（排除法）；是考虑特殊元素还是特殊位置，均会产生不同的解答方法.要求我们学生在分类时，必须保证分类各情况相互独立、无重复、无遗漏.在分步时，要分步次序明确，且能按顺序准确完成事件.学生计数时产生偏多或者偏少问题时，要研究重复或遗漏的部分，只有这样，才能培养学生积极主动的思维习惯，多角度思维的探究意识和自我反思批判的精神.
六、专家点评
计数原理的题目，学生往往一看就能做，但一做就出错，关键在于分析问题的混乱.分类还是分步，归根结底是对事件的阅读与解读，这是计数原理问题的难点.本课中，教师从不同角度反复锤炼学生的这一思维习惯，提高其分析能力，紧紧地扣住问题的关键，而在整个课堂中，学生也得到了充分的训练，问题解决的能力有明显的提升.