两角和与差的运用

两角和与差的运用

上海市市东中学　陆剑红

一、教学目标

（一）知识与技能

1.通过自主复习，理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程.

2.通过课前预习作业，熟记两角和与差的公式.

3.通过课上例题和课后作业，进一步掌握两角和与差的公式并会灵活运用.

（二）过程与方法

1.在探究两角和与差公式的推导过程中，感受数学探究的一般过程和方法.

2.在思考两角差的余弦公式的其他推导方法时，通过小组间合作学习，多角度多观点的碰撞，体现和感受数学发现和创造的过程，提高严谨而准确的数学表达能力.

3.体会“构造法”“化归法”“整体代换”等数学方法在数学中的运用.

（三）情感、态度与价值观

1.通过复习教材，了解两角和与差公式的推导过程，领略数学家对科学严谨认真的态度.

2.通过小组合作或查阅资料，思考两角差的余弦公式的其他推导方法，激发学生的探究兴趣和欲望.学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识和对待新知识的良好情感态度.

3.在探究的过程中，体验合作的愉悦和经验，增强责任感，互帮互助，增强团队意识.

二、教学重点与难点

（一）教学重点

运用两角和与差的公式解决三角式的求值、化简和证明问题.

（二）教学难点

合理灵活地选择公式.

三、教学方法与教学手段

（一）教学方法

以学生为主体，问题为驱动，探究练习，小组讨论合作学习.

（二）辅助教学手段

多媒体辅助教学：互动电视（包括数字展台、电子白板、网络多媒体）、移动黑板和导学案.

四、教学流程设计

五、教学过程

（一）课前学生自主预习，梳理知识

1.公式梳理

（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)=______________________；

cos(α±β)=______________________；

tan(α±β)=______________________.

（2）公式变形：

sinαsinβ+cosαcosβ=______________________；

tanα+tanβ=______________________；

tanα-tanβ=______________________；

2.探究推导

（1）通过复习课本P51，理解课本推导两角差的余弦公式的方法.

思考：你还有什么其他推导方法吗？（小组合作）

（2）复习课本P52、P55、P57，思考：利用两角差的余弦公式是如何推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦、正切公式的？（课上回答，请做好准备）

说明：

1.通过公式变形，进一步让学生熟练公式.

2.通过探究推导两角和与差公式，让学生感悟“整体代换”等数学方法.

3.预习作业

（1）化简：sin（60°-α）-sin（60°+α）=___________；

（考查知识点：两角和与差的正弦公式的运用）

化简：cos（x+y）cosy+sin（x+y）siny=___________；

（考查知识点：两角差的余弦公式的逆用）

（2）已知，则sin（β-α）=___________；

（考查知识点：同角三角比和两角和与差的正弦公式的运用）

（3）已知α、β为锐角，则α+β=___________；

（考查知识点：两角和的正弦、余弦公式的灵活运用以及角范围的判断）

（4）已知

则tan（α+β）___________.

（考查知识点：两角和与差的正切公式的灵活运用）

（二）精选例题，灵活运用

1.预习检测，体验方法

（1）通过数字展台，对两位学生的作业（课前老师批改，选出具有代表性的）进行展示，让学生自己纠错或同学互助一起帮忙改正，同时通过两位同学不同的解题思路，让学生从对比中体会公式的逆用、灵活变式的优点.尤其是第（4）题，可以把已知条件展开，分别求出tanα和tanβ，然后再求tan（α+β），也可以先观察所求角正好等于已知角的和，直接利用两角和的正切公式，岂不又方便又简单！

（2）通过检测公式的推导，后一个公式是由前一个公式怎么推过来的？cos（α-β）→cos（α+β）→sin（α+β）→sin（α-β）→tan（α±β），由5位学生分别回答，通过代换、诱导公式、商数关系，将一些未知的转化为已知的，全班同学一起体验公式的由来，了解公式的内在联系，从中体会数学思想方法.

3.通过对两角和与差公式运用的简单练习，一方面让学生熟练公式，另一方面让学生体会一题多解，复杂与简捷的变身.

4.通过自己做题，再看看其他同学的思路，取长补短，找到最合适的方法.

5.一起体会公式的由来，感悟数学思想方法.

2.典型问题分析

例1　已知α、β是第二象限的角，求α+β的值.

分析：学生本能的会根据已知条件求sin（α+β），但是根据α+β的范围，有两解，会出现增解.如果根据角的范围，选择求cos（α+β），则不会有增解.

例2　已知α、β为锐角，且，求cosβ的值.

分析：可以通过cos（α+β）的公式展开，再借助sin2β+cos2β=1解出cosβ，可是计算复杂，而且因为选择了平方公式，有可能会产生增解.但是如果观察所求角β是已知角（α+β）和α的差，利用两者之间的关系是不是更简单呢？

解法一：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

解法二：（简单）

点评：学生要认真审题，仔细观察，分析已知角与所求角的联系，β可以改写成（α+β）-α，掌握拆角合角的灵活变化.合理地选择公式，可起到事半功倍的效果.

变式1：已知求sin（α+β）的值.(https://www.daowen.com)

分析：学生会发现所求角既不等于已知两角之和，也不等于两角之差，如果把已知条件用公式展开，显然很麻烦.这时候可以进一步引导学生去探究：所求角与已知两角差是不相等，可它们之间相差什么呢？

相差π，可以利用诱导公式把它转回来.

6.让学生通过观察角的范围，根据三角比的符号合理选择三角.

7.直接展开公式虽然可以做，但显然很复杂.如果观察所求角与已知角之间的关系，灵活运用公式，会更方便和简洁.

8.和学生们再度审视所求角与已知角之间的关系，合理选择两角和与差的公式以及诱导公式，体会公式的灵活运用之美.

变式2：已知，且3sinβ·cosα=cos（α+β），

求证：

分析：继续观察角与角之间的关系，目标中角的形式，有α+β和α，而已知条件中除了有α+β和α，还有β，应该想办法把β转化成目标中的角，β=（α+β）-α.

点评：本题是关于有条件的等式证明，要注意观察已知等式和要求证的等式的结构特征，如角的结构或者函数名的结构.

（三）课中小结

1.合作学习，培养创新意识

（1）通过个人预习和复习，你认为这节课的学习内容还有哪些方面不明白？

（2）在小组讨论中，你是否解决了你的疑问？是否遇到新问题？

（3）推导两角差的余弦公式还有什么其他推导方法吗？（利用向量的数量积等）

9.两角和与差公式在证明题中的运用.我们不仅要学会观察，把所求角写成已知角的和与差，有时候也可以把已知条件写成目标的形式.

10.在课堂上通过对几个典型问题的分析与研究，达到落实双基和培养创新意识的目的.

2.学会学习，提高认识

通过自主复习、知识结构的构建以及例题的探究，你学到了哪些数学方法？有什么样的收获？

（1）角变换的方法：在三角比求值、化简或证明时，观察角的特征，进行适当变形，寻找条件与结论之间的关系，不蛮干，要巧干.

（2）结构联想法：善于发现其结构上的特点，在解决问题时积极联想公式的结构形式.

（3）灵活运用公式：正用、逆用、变形用，将未知转化为已知.

（四）巩固练习，加深理解

1.双基训练

（1）①化简：cos91°cos29°-sin91°sin29°=___________；

（考查两角和余弦公式的逆用）

②化简：___________.

（考查诱导公式和两角和差公式的逆用）

（2）已知，则cosβ=___________.

（灵活选择公式，求值）

（3）已知在第二象限，α+β在第四象限，则cos2β=__________.

（观察所求角与已知角之间的关系，选择合适的公式）

（4）已知，则cosα=________.

（考查两角差的公式）

（5）已知，求的值.

（考查公式的综合运用）

（6）在△ABC中，若tanA、tanB是方程x2-6x+7=0的两个根，求tanC的值.（考查两角和的正切公式的运用）

11.夯实基础.

2.拓展训练

（7）求证：sin（2α+β）-2cos（α+β）sinα=sinβ.

（两角和与差公式在证明中的运用）

（8）①在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0，求角B的大小；

②求证：sin（2α+β）-2cos（α+β）sina=sinβ.

（两角和与差公式在三角形中的运用）

3.创造性训练

（9）①已知α+β=45°，求（1+tanα）（1+tanβ）的值；

②求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）的值；

③如果，求α+β的值.

12.培养能力.

13.发展思维.

六、教学设计说明

（一）教学内容分析

本节课是关于两角和与差公式的综合练习课，包括了余弦、正弦和正切.这节课采用了导学案“一课三单”的形式编写，通过背默公式，提供预习思路激发学生自主预习的愿望，引导学生主动构建知识体系，积极探究，老师适时精讲，分层把握，及时总结、延拓、发散，使学生的学习能力得到进一步的提高.目的在于尝试改变传统的教学模式，突出学生的自主复习、小组合作、主动探究和能力发展.使学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、有所突破，通过展示自己的才华、智慧，提高数学素养和悟性.

（二）学情分析

授课对象是高一创新班学生.绝大多数学生基础还好，但还是有些学生存在问题，基本公式记不清楚，或者勉强记住了公式，但又缺乏深层次的理解，在解决综合问题时不能灵活运用，知识零散，缺乏整体性.怎么调动学生把零散知识点串联起来，并能灵活地进行综合运用，是作为老师的我一直在思考和探究的.这节两角和与差公式的综合练习课就是我在这方面的一次尝试和实践.

（三）教法与学法分析

两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角变换的基本依据，也是后面学习倍角、半角等公式的“源头”，很重要，但我觉得不是公式很重要，而是公式中蕴含的数学思想方法很重要.所以，在本节课的设计上，如何让学生真正动起来，主动进行知识系统化构建，数学思想方法的提炼和升华，是我考虑的重点.通过课前的导、课上的析、课后的悟，做到放中有导、导中有放、导放适中.从教学理念、教学内容、教学过程及教学空间等方面，全面进行开放型教学探究与实践.

七、板书设计

两角和与差的运用

一、公式梳理

二、公式推导

cos(α-β)→cos(α+β)→sin(α+β)→sin(α-β)→tan(α±β)

三、精选例题

例题

变式

八、课堂反思

这节课在课堂实施过程中，通过课前导学案一课三单的设计，贯彻“以学生发展为本”的教学理念.课前引导学生自主复习，主动建构知识结构，完善知识体系，体会和总结公式推导过程中所涉及的主要数学思想和数学方法，整理并分析.课上在反馈学生预习作业的基础上，组织学生交流，通过对比，发现优点和不足，并提出修改意见，积极探讨，加深对知识的再认识.通过回顾知识背景和对公式的再推导，学生积极思考，认真准备，了解知识的内在联系.在一定程度上激发了学生的挑战意识和学习热情，促进了学生的自主合作学习和团队合作能力.但是，因为检测是抽样检测，不排除有学生存在浑水摸鱼现象，或者个别理解能力弱的同学尚需要课后的个别辅导.

例题的设计，一题多解，一题多变，多题一解，既可加强学生对知识间的纵横联系，也能锻炼思维能力的发展.课上抓住了典型问题，针对学生的一些易错易漏点做重点分析，引导学生理解数学思想，掌握数学方法，所以在课上常常让学生思考这样的问题：这道题涉及什么知识？用了哪些方法？这些知识和方法还能解决什么问题？以培养学生会分析、解决、归纳问题的能力.数学不仅要结果，更是要看重过程.

重视学生的解题过程和书写规范问题，在详略得当上做得不够好，比如，变式2的处理，完全可以采取课上仅仅是和学生一起理清思路，课后放手让学生去书写完成，这样可以适当地提高课堂效率.另外在能力训练上，放得还不够开，对公式的运用较多，但对理解公式功能上做得不够全面，模板可以更丰富一些.

课后围绕解题训练，让学生通过练习达到灵活应用、触类旁通的效果.作业的分层设计，体现了不同个体的学习需求，由于时间关系，没有来得及当堂反馈，但通过课后老师的批改，很容易了解学生掌握程度，然后有针对性地补缺补差.

九、专家点评

现在高考对能力的要求，除了考查数学基础知识，在知识交汇点设计试题外，还考查中学数学知识中蕴含的数学思想与方法，注重通性通法，淡化特殊技巧.本节课通过一课三单的形式，老师为指引，学生自主预习、思考.课上通过对预习作业的反馈，让学生自我对比、分析，体会公式的逆用、灵活变式的优势.同时通过对公式的推导回顾，进一步了解公式的内在联系，体会数学思想方法.例题的设计注重规律的概括总结与优选能力的培养.上课采用题组法教学（一题多变）和讲练结合的方式，挖掘教材内涵，又利用课本辐射整体，实现“由内到外”的目标.从例题到变式1、2，由易到难，意在引导学生仔细分析已知角与所求角的联系，掌握拆角合角的灵活变化，学会合理选择公式运用公式.每题都有多种方法解决，不同学生可以有不同的解题思路，让学生自己在多种方法中体会优劣性，既落实了双基，又提高了学生思考和解决问题的能力.