线性规划的可行域
一、教学目标
（一）知识与技能
1.通过不同的研究方法，认识二元一次不等式解集的几何意义.
2.理解以二元一次不等式、二元一次不等式组的解集为坐标的点集所表示的平面区域.
3.能根据实际问题的分析写出线性约束条件，采用图形分析方法画出可行域，并解决一些简单的数学问题.
（二）过程与方法
通过对二元一次不等式解集的几何意义的探究，提高学生分析能力，并渗透集合与数形结合思想.
（三）情感、态度与价值观
1.通过对二元一次不等式、二元一次不等式组的解集为坐标的点集的探究，培养学生的探索精神和创新意识.
2.以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
二元一次不等式（组）的解集所表示的一个平面区域.
（二）教学难点
1.二元一次不等式表示平面区域.
2.根据二元一次不等式（组）正确作出平面区域.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）数学探究、引入新知
1.开门见山，直入主题
教师：我们知道，一元一次不等式和一元二次不等式的解集可以用数轴上的点集表示，那么，二元一次不等式的解集是否也可以用数轴表示呢？它的几何意义是什么呢？比如，满足不等式x+y-1＞0的x、y应该如何表示，如何呈现呢？这节课，我们首先从这个话题入手进行研究.
问题：在直角坐标系中，{（x，y）|x+y-1=0}表示过点（0，1）和（1，0）的直线l上的点构成的集合.那么，A={（x，y）|x+y-1＞0}表示怎样的点集呢？
2.根据问题，引出探究二元一次不等式可行域的方法
学生：我猜想，因为满足直线方程x+y-1=0的点都在直线上，那么，直线两侧中有一侧的所有的点坐标所对应的x、y都满足不等式x+y-1＞0.
教师：我们是否可以通过已经学过的知识来说明这个问题呢？
学生A：在高二第二学期解析几何章节中“点到直线的距离”这一节中曾提到，在平面直角坐标系中，在直线l：ax+by+c=0（a、b不同时为0）同侧的点P（x0，y0）的
的符号都相同，异侧的点的
的符号则相反.因此，直线l：ax+by+c=0（a、b不同时为0）将平面分成三部分：
A={(x，y)|ax+by+c＞0}；
B={(x，y)|ax+by+c=0}；
说明：
1.新旧知识衔接，激活学生思维，引出探究主题.
2.提出问题，引出二元一次不等式的解集与二元一次方程所表示的直线间的关系.
3.问题中用直线方程的几何特征引出二元一次方程的几何特征，较好地令学生联想高二阶段解析几何学习过程中对直线方程知识的一些应用.至于此结论的推导不必在本节课中作为重点阐述.（时隔很久，能想到此类做法的估计并不多）
C={(x，y)|ax+by+c＜0}.
其中集合A、C分别对应二元一次不等式ax+by+c＞0或ax+by+c＜0的解集.因此，我们可以得到集合A={（x，y）|x+y-1＞0}所表示的点集一定在直线x+y-1=0的一侧.
教师：很好，我们确实可以利用这个结论帮助我们取得问题的一大突破.那么，到底是直线的哪一侧呢？我们又该如何进一步判断？
学生B：进一步判断其实很容易.既然已经知道直线l：ax+by+c=0的两侧的点集分别满足集合A、C，我们只需在其中一侧取特殊点代入代数式ax+by+c判断符号后就能确认包括这一特殊点在内的这一侧的符号及满足哪个集合了.
教师：如果原点O（0，0）所对应的ax+by+c的值的符号为正，即c＞0，那么与原点在直线l：ax+by+c=0同一侧的点P（x，y）所对应的ax+by+c的值的符号也为正，与原点O不在直线l：ax+by+c=0同一侧的点P（x，y）所对应的ax+by+c的值的符号为负；同理，如果c＜0，那么与原点在直线l：ax+by+c=0同一侧的点P（x，y）所对应的ax+by+c的值的符号为负，与原点O不在直线l：ax+by+c=0同一侧的点P（x，y）所对应的ax+by+c的值的符号为正.
教师：因此，当c＞0时，集合A表示直线l：ax+by+c=0含原点一侧的区域，集合C表示不含原点一侧的区域.当c＜0时，集合A表示直线l：ax+by+c=0不含原点一侧的区域，集合C表示含原点一侧的区域.当c=0时，集合A、C所表示的区域可借助其他点，如点（1，1）或（1，-1）所对应的ax+by的值的符号来确定.
教师：除了运用解析几何中点到直线距离中的结论外，我们还有其他方法找出二元一次不等式的解集吗？
学生C：其实，我们在解析几何的其他章节中也有类似的推导.比如，我们在判断一个点是在已知给定的椭圆外、椭圆上还是椭圆内时，我们也有一些其他的做法.我们在直线l：ax+by+c=0的一侧任取一点P（x，y），过点P作y轴的垂线，交直线l于点Q（x0，y），显然点Q的坐标所对应的值满足直线方程，即ax0+by+c=0，若a＞0，如图5-8所示，x＞x0，可推得ax＞ax0，进而可获得ax+by+c＞ax0+by+c=0，根据上述推导，可知，射线QP上的点的坐标值，除点Q外，都满足ax+by+c＞0，而QP反向延长线上所有的点的坐标值都满足ax+by+c＜0.进而，能推导出直线l：ax+by+c=0两侧的点的坐标值代入ax+by+c后得到的值是异号.当然，若a＜0，也能得到类似的结论，但若a=0则需要考虑其他方法加以解释.
4.应用结论发现规律，为线性规划的进一步研究铺平道路.
5.用特殊的方法迅速判断不等式解集满足的区域，理由充分合理.
6.补充解释，给出一般求解规律.
7.拓展思考，回顾解析几何求解类似问题中的一般求解方法.
图5-8
学生D：根据前一位同学的解法，我们也可以过点P（x，y）作x轴的垂线，同样也可以解释上述问题.
教师：上面两位同学解答得非常好，而且在a=0或b=0的问题上的解法可以互为补充，很有启发性.用这类方法，我们在之前的学习中还处理过平面上任一点与给定椭圆、双曲线、抛物线等曲线的位置关系问题.我们请同学归纳一下所获得的结论.
学生：在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示它对应的直线ax+by+c=0某一侧的所有点组成的平面区域.在直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），从ax+by+c的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.
（二）问题解决、巩固新知
例1 画出下列不等式组的解为坐标的点所表示的平面区域：
解：步骤一：画出x-y+5≥0的区域，如图5-9所示.
（1）先画出直线x-y+5=0；
（2）根据不等号方向及c的符号确认所在区域.
8.归纳总结.
9.实例讲解，体会二元一次不等式组的求解步骤以及注意事项.
(https://www.daowen.com)
图5-9
图5-10
步骤二、步骤三：在同一坐标系中画出x+y＞0和x≤3两个不等式的解的坐标的点所表示的平面区域，并求出公共部分就是不等式组的解为坐标的点所表示的平面区域.
教师：解题过程中我们需要关注哪些问题？
学生：（1）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（2）解题步骤中，先画直线，然后需要根据不等号的形式确认画实线还是虚线.
教师：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x，y）叫作可行解，所有可行解构成的区域叫作可行域，上述由三个不等式构成的不等式组形成的就叫作二元一次不等式组的解集所表示的一个平面区域，在线性规划问题中就是一个可行域.
例2 若实数x、y满足
（1）求
的最大值；
（2）求x2+y2的最小值.
解：根据给出的不等式组找出解对应的点在直角坐标系中的区域，第（1）题解决的是斜率的最值问题；第（2）题解决的是满足条件的点到原点的距离平方的最值问题.
（1）如图5-11所示，直线-3x+y+6=0与直线2x+y-24=0的交点（6，12）到原点连线的斜率是所有斜率的最大值.因此，
10.初步探索运用解析几何知识进行最值问题求解的方法.
图5-11
（2）根据图像，可以得到直线-3x+y+6=0与直线x+3y-7=0的交点（2.5，1.5）到原点的距离的平方最小，最小值为8.5.
（三）课中小结（由学生小结，得出结论）
1.知识内容
（1）二元一次不等式的解可以表示为直角坐标系中一块平面区域.
（2）根据二元一次方程所表示的直线将直角坐标平面分成三个不同特征的区域，可以帮助我们找到以二元一次不等式的解为坐标的点的区域，并能用不同的方法进行探究.
（3）掌握二元一次不等式组表示区域的作图方法.
2.思想与方法：集合的思想与数形结合的思想.
（四）继续探究、深化新知
例2 增加第（3）问，我们来试试是否可完成：（3）求x+y的最大值.
（五）巩固训练、作业布置
练习1：已知A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（yx）（y+x）≤0}，M=A∩B，求M的面积.
练习2：若不等式组
所表示的平面区域被直线y
分为面积相等的两部分，则k值是（ ）.
11.归纳小结，回顾反思.
12.深入思考，为下一课的展开作好铺垫.
练习3：不等式组
所表示的平面区域的面积是___________.
练习4：设实数x、y满足约束条件
求z=（x+1）2+（y-2）2的取值范围.
（一）教学内容分析
本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年级拓展Ⅱ第一册数学课本，内容为专题1“线性规划”第二课时.
线性规划能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.本节内容作为沪教版拓展内容曾作为文科选学高考考查内容，随着高考改革的不断深入，文理科高考试卷合卷，自2017年开始已作为文理不分科的共学内容.
线性规划问题在这里只是在学习直线方程的基础上，对二元一次不等式组问题的探究，对简单目标函数的最值求解的应用，它虽然只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.
通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，应用数学的意识，提高认识问题、分析问题和解决实际问题的能力.
（二）学情分析
由于此节内容放在高三拓展部分中，沪教版教材的这一安排与人教版的安排有比较大的差别.人教版中此节内容被安排在解析几何直线方程的最后一节，其根本是对直线方程进行深入研究、加深理解.而沪教版内容则放在高三，在对高中阶段课程内容大体完成的前提下进行的拓展性研究，强调数学的应用功能以及数学的工具性价值，体现了学生的综合应用能力.
学生已基本掌握二元一次方程所代表的直线在直角坐标系的表示方法，但对二元一次不等式的求解完全没有经验上的接触，因此，从找一个满足不等式的解，到满足不等式的一类解，再到研究这类解的表示方法，都是本节课的重要内容，这方面的探究能力，学生需要逐步培养.另外，本节课最值问题的求解还涉及了解析几何中的若干知识，强化了用形解决数的问题的一些典型案例.因此，放手让学生独立探究，以形辅数的数形结合思想，都对学生综合应用能力提出了挑战.
六、教学设计说明
（三）教法与学法分析
本节课尽管是新课，但由于学生已处在高三复习阶段，教材处理中，我们可以把这一专题作为探究新知、培养能力的一个综合性的尝试课.依托学生已有的经验，开门见山、直入主题.通过问题的提出，引领学生根据已有知识和认识探求新知.通过已有的研究方法，获得一般结论，并运用数形结合的方法应用结论解决问题.因此，设计过程主要是：开门见山、直入主题→研究问题、多维思考→应用深化、巩固理解→归纳小结、引出新知.
学习中要积极回顾解析几何中有关直线的知识，数形结合求解最值的一般方法，然后才能进入多维度思考，多层次探究新知的层面.本节课围绕解析几何的综合应用展开，完全使用了化归与数形结合的方法解决数学问题.因此，在学习中需要强调图像在学习中的作用，以形辅数解决相关问题.
七、板书设计
线性规划的可行域
一、问题的提出
二、研究解决方案
解决方案1：
解决方案2：
三、概念的提出
平面可行域的概念：
四、问题的解决
例1
例2
五、小结与拓展
八、课堂反思
本节课是“线性规划”的第二课时，学生已经学过了直线上的点的坐标都满足二元一次方程，而且以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上.在学生得出直线方程后，如何使教材的认知结构（不等关系）和学生的认知构建（相等关系）和谐统一？在教学设计上，通过问题提出直入主题的方式激发学生思考，运用已学过的解析几何研究问题的一般方法，组织学生独立思考、讨论、交流，对数学问题进行探究、求解、延伸和发展，通过发现问题、提出问题、解决问题来揭示二元一次不等式与平面区域的关系.并通过例题巩固数形结合的一般方法，引申出下节课研究的主题，有效提高学生归纳总结解决问题的能力.
反思本节课，完成了教学任务，与学生也有一定的互动.但是，整体设计中，方案一和方案二的铺垫还很不够，学生只能在教师的引导下一步步进行研究，对解析几何综合研究方法掌握得不牢靠，也就是意味着铺垫和准备还不够充分，牵着学生学习的痕迹还是很明显.因此，在今后教学中，铺垫部分对研究方法的引导还需要加强.
九、专家点评
本节课首先开门见山、直入主题，对二元一次不等式的解集进行了探究，在原有对二元一次方程所对应直线的基础上，多维度思考解决问题的途径，获得求解二元一次不等式的一般思考方法和解决步骤.通过数形结合的方法，初步了解并掌握求解二元一次不等式组的可行域问题的一般方法并能解决目标函数背景下的最值问题求解.
在教学设计中，采用了“开门见山、直入主题→研究问题、多维思考→应用深化、巩固理解→归纳小结、引出新知”的过程，通过方程与不等式的内在联系，数与形的有机统一，获得二元一次不等式可行域的一般求解方法.学生通过对“形”的探究，体验学习过程，培养了学生直观想象的数学核心素养.
可以看出教师有钻研，条理清晰，对重点的把握和难点的突破处理得流畅.师生互动好、教师有激情，学生积极性调动得较充分.