直线的方程（第一课时）
上海市中原中学 厉 善
一、教学目标
（一）知识与技能
1.引导学生了解直线方程的定义.
2.掌握点方向式方程和方向向量概念.
3.学会利用方向向量和直线上的一个定点来求出直线的点方向式方程.
（二）过程与方法
1.通过让学生经历直线方程的发现过程，提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力.
2.培养学生综合运用知识解决问题的能力.
（三）情感、态度与价值观
在教学中充分揭示“数”与“形”的联系，激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
直线的方向向量与直线的点方向式方程的推导和使用.
（二）教学难点
掌握直线方程的定义.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
利用学生“最近发展区”引入，情景教学，引导探究，启发式教学.
（二）教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）知识回顾
平面上的最基本的几何图形是点和直线.
点和直线构成了我们学习过的几何图形，比如三角形、四边形、圆等.
在有了平面直角坐标系以后，平面内的每一个点都可以用坐标（有序实数对）来表示.
每一个点都只对应一个坐标，而坐标作为点的代数形式，也是数学中数形结合思想的基础，也为将来学习解析几何的过程中用代数方法来研究几何问题提供了依据.
教师：那么平面中直线的代数形式是什么呢？
学生：一次函数，举例：y=x.
教师：如图4-1所示，可以看作x-y=0，是一个二元一次方程，那么是否直线就是二元一次方程呢？
图4-1
（二）直线方程的推导
1.引例
丁俊晖打桌球，击打红球其实是给红球施加了一个力，红球可以看作是平面内的一个点，力是给了红球一个明确的方向，此时，红球沿直线前进，这样的直线有且只有一条.
引例分析：高中阶段描述方向的知识点——向量.向量可以平移到直线外，沿向量的方向过定点同样也能作出这条直线，向量是否落在直线上其实没有关系，但向量必须与直线平行.
提出概念：直线与向量所在的直线平行或重合，叫作直线与向量平行.
说明：
1.提出问题，让学生思考直线的代数形式，引出课题.
2.通过打桌球的例子让学生了解构成直线的方法也可以是给定一个点和一个明确的方向.
课堂小结：（由学生小结）过平面上一定点作平行于向量的直线有且只有一条.
2.直线方程的推导
已知过平面内一定点P（x0，y0），且平行于非零向量的直线有且只有一条.
设直线l上的任意一点Q（x，y），则x、y满足什么样的等量关系？
可以利用直线与向量的平行关系来解.
解：设直线l上的任意一点Q（x，y），则
则u（y-y0）=v（x-x0）.（*）
教师：“任意的点”说明直线上所有的点满足这个方程，那么会不会有平面上的其他点也满足方程呢？为了解决这个问题，所以我们需要反过来说明是不是方程的解作为坐标的点都在直线上呢？
解：设Q1（x1，y1）是方程的任意解，
所以u（y1-y0）=v（x1-x0），所以
因为点P在直线l上，过点P作平行于
的直线l有且只有一条，
所以点Q1在直线l上.
所以过点P（x0，y0）与非零向量
平行的直线l上的点Q（x，y）的坐标都满足关系式：u（y-y0）=v（x-x0）.（1）
直线上的点的坐标都是方程的解，
以方程的解作为坐标的点都在直线上，
则称方程（1）为直线l的方程；称直线l为方程（1）的图形；
并称非零向量
为直线l的一个方向向量.
思考：如何通过否定条件来否定结论.(https://www.daowen.com)
只要条件中的第一条或者第二条否定，则结论否定.
例1 下列方程是否是图4-1中直线的方程.
解：（1）不是，不满足定义中的第一条，比如点（-1，-1）在直线上，但是该点的坐标并不是方程的解.（2）不是，不满足定义中的第二条，比如（-1，1）是方程的解，但该解作为坐标的点不在直线上.（3）满足条件一和二，所以y=x是图中直线的方程.
3.反过来思考以方程的解作为坐标的点都在直线方程上对于学生来说要求较高，讲解的程度根据学生的情况而定，也可以在后面曲线方程的学习中再提出.
4.让学生明确两个条件缺一不可，否定任何一个条件，结论都无法成立.
5.例1、例2简单，学生能够立刻分辨出正确结论，在这个基础上正确引导学生能够利用直线方程的定义来进行说明，强化定义.
例2 以下点是否在直线y=x+1上？为什么？
A(1，3)，B(3，6)，C(0，0)，D(1，2).
解：点A在直线y=x+1上.因为y=x+1是该直线的方程，所以直线上的点的坐标一定是方程的解.只有点A满足.
（三）继续探究，深化新知
教师：我们可以将刚刚求得的（*）式进行变形，但是在变形前必须对方向向量有一定的要求.
直线方程的继续推导：过点P（x0，y0）与非零向量
平行的直线l上的点Q（x，y）的坐标都满足关系式：u（y-y0）=v（x-x0）.（1）
u≠0且v≠0，则可将（1）化成
称方程（2）为直线l的点方向式方程.
u≠0且v=0，则可将（1）化成y=y0，垂直于y轴，
v≠0且u=0，则可将（1）化成x=x0，垂直于x轴.
例3 已知直线过点A、B，方向向量为
，根据条件写出下列直线的点方向式方程；若不能写出直线的点方向式方程，请说明直线的方程是什么.
解：
教师：如果已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则直线AB的方程是什么？
学生：直线AB的方程是
课堂练习：口答下列直线方程所表示直线所过的一点及一个方向向量.
(3)x=5；(4)y=0.
看学生的回答情况讲解.
6.给出点方向式方程，以及在方向向量的横纵坐标分别为0的情况下，得到直线的方程.
7.通过例题和课堂练习巩固直线的点方向式方程、方向向量，以及垂直于坐标轴直线的写法.
（四）课堂小结（让学生总结）
1.直线的方向向量.
2.直线的点方向式方程.
3.向量是研究解析几何的重要工具.
4.平面坐标系建立了代数与几何联系的桥梁，实现了数形结合.
（五）作业布置
1.课后练习11.1（1）.
2.练习册习题11.1 A组1，2，3，4；B组1，2.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
本节课的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程.用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.
本节课的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想，从而培养学生用坐标法研究平面直线（和以后的圆锥曲线）的能力.
理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.
（二）学情分析
高二的学生在初中、高一的时候就学习过一次函数，知道一次函数表示的是直线.而从解析几何的角度，一次函数中含有未知数x、y，是一个一元二次方程.这会让一些学生觉得有些障碍——已经学习过一次函数，为什么还要学习直线方程.首先，直线方程是高中阶段平面解析几何的开始，体现了最简单的方程的解与图像的点的对应关系.其次，让学生明白研究的角度不同，用代数的方法来研究平面几何问题是高中平面解析几何的核心思想.
七、板书设计
直线的方程（第一课时）
一、直线的方程
若①……
②……
则……
注：直线上的点与其方程的解是一一对应关系
二、直线的点方向式方程方向向量：……
u≠0且v≠0，则……
u≠0且v=0，则……
u=0且v≠0，则……
八、教学反思
反思本节课，教师在前面铺垫了一一对应的关系，学生在例题的第一题中就能依靠自己的能力说出方程不能表示出直线，略有不足的是学生说的是直线下的很多点作为反例，但在其他同学的帮助下可以说出只需要一个反例即可，并能够完整地表述出否定的命题，这也可能是因在前面就总结提炼出举反例这个方法而达到的效果.
不尽如人意的地方是，时间有点紧张，学生思考的时间不够，若概念的讲解太过抽象会使学生难以理解.对于公式的讲解还有些不够到位，对于例3，有的学生必须在引导下才能够把题目完成，可见公式的形式并没有深入人心.
改进方法：可以考虑根据更具体的例子，从特殊的例子到特殊的结论，再推到一般的结论，对于学生来说可能会更容易接受.
九、专家点评
整节课其实分为了两个部分的内容，第一部分是在解释什么是直线的方程，第二部分是直线方程的推导.在这里可以发现这样处理教材让人感觉本节课有两个重点，一旦有了两个重点，对于学生来说就比较难以接受.本节课相对该学校的学生，要求是有点高.对于这节课来说，其实也可以从特殊的例子入手，通过讲明白特殊的例子，比如，在平面内给学生一个特殊的点（1，2），一个特殊的方向向量（3，4），那具体去找这个平面上满足过这个点与平行于这个向量的直线，有且只有一条，然后再通过这个例子来说明直线方程的定义有可能效果会更好一些.另外，如果我们考虑提前学习后面的曲线方程的概念，然后再上直线方程这节课，可以让学生理解得更好一些.