反正弦函数

反正弦函数

上海市控江中学　张菁璐

一、教学目标

（一）知识与技能

1.引导学生理解学习反正弦函数的必要性；理解正弦函数不存在反函数；理解反正弦函数的概念.

2.掌握反正弦函数的性质，正确理解和使用反三角函数的记号表示一个角的弧度数.

3.知道反正弦函数的图像，并能数形结合地掌握反正弦函数的性质.

（二）过程与方法

1.经历数学探究活动的过程，体会问题驱动模式下数学概念的学习过程.

2.实践反函数概念在三角函数中的具体应用.

（三）情感、态度、价值观

1.通过反正弦函数概念的学习，培养学生的探索意识和数学素养.

2.以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.

二、教学重点和难点

“反正弦函数”是高中数学三角函数中一个重要的数学概念.对反正弦函数概念的理解是教学的重点和难点.对反正弦函数概念的学习和理解，可以促进学生对函数概念及反函数概念的理解.展示反正弦函数概念的形成过程，可以帮助学生更有效地理解和掌握反函数的概念，加深学生对概念本质的理解，提高学生的数学素养.

三、教学方法与辅助技术

教学方法：以学生学习为本，以问题为驱动，引导学生主动探究反正弦函数概念.

辅助技术：多媒体PPT课件.

四、教学过程

引入：这学期我们已经学过了许多有关三角的知识，那么你是否了解三角学是如何产生的呢？

其实三角学产生于测量的需要，如在航海中、在天文观测中都要用到测量.而在实际的测量过程中存在两个问题：一是已知一个角，求该角的三角比值.我们前面已经学过的正弦函数研究的就是这类问题.如代入正弦函数y=sinx关系式中，可得.另一个问题是反过来已知角的三角比值，求角值.如已知，则x=？.我们看到满足这个式子的角有无穷多个.但只要求出其中一个，其他的也就都能知道了，所以我们可以先求某一个，如可取时，，再通过诱导公式求得其他各角.但是对于诸如，x=？，x=？之类的情况，现在我们就连一个角也没法表示出来，而这样的例子还有很多.怎么办？这就是我们要研究的问题：已知角的正弦值，能否通过某种方法，把这个角反表示出来，并且进一步考虑当正弦值在区间[-1，1]内变化时，相应的这个角怎么变？这就是探讨一个函数的反函数的问题.（这里配单位圆来帮助说明）

（一）反正弦函数的定义

请大家观察正弦函数f（x）=sinx（x∈R）的图像，并回答问题：

问题1：正弦函数f（x）=sinx（x∈R）存在反函数吗？说明理由.

没有.因为一个y对应了无数个x，不满足一个函数存在反函数的条件：x与y一一对应关系.尽管正弦函数没有反函数，但是从刚才的例子中，我们得出只要求出其中一个满足式子的角，其他的也就都能知道了，所以我们可以考虑：

对于正弦函数f（x）=sinx（x∈R）能否在R上找出一个子区间A，使得在A上定义的新函数f（x）=sinx（x∈A），存在反函数？

如等.（一般学生都会直接回答第1个，可以多给出几个区间）满足上述条件的子区间有多少？有无数个.在这么多子区间中，所以为了使每一个正弦值在区间[-1，1]内的角都能用反正弦函数表示出来，必须选取满足值域在区间[-1，1]的子区间.

怎样选取子区间A，才能使函数f（x）=sinx（x∈A）存在反函数且值域为[-1，1]？

在满足要求的子区间中选择该区间满足：

1.x的值与y的值一一对应；（这一点以上各子区间都满足）

2.正弦值能取得区间[-1，1]上的一切值；

3.在该区间上研究比较方便，这一点刚才在单位圆上也看到了.

构建出函数f（x）=sinx，，y∈[-1，1].（板书）

问题2：反正弦函数是怎样定义的，为什么这样定义？

反正弦函数定义：函数f（x）=sinx，，y∈[-1，1]的反函数称为反正弦函数.

怎么表示这个反正弦函数呢？

为此我们引入一个新的符号，记x=arcsiny，y∈[-1，1]，

习惯上，用x表示自变量，y表示函数值.

反正弦函数表示为：y=arcsinx，x∈[-1，1]

根据反正弦函数的定义，说出表示什么？表示什么？

表示正弦值为且在区间内的角的值.而在区间内只有满足正弦值为，所以，arcsin

由此，我们可得：其实arcsinx表示的是一个角的值，是怎样的一个角呢？这是一个取值范围在区间内的角，它的正弦值为x.

所以，，而在这个范围内，arcsinx既然表示的是正弦值为x的角，那么这个角的正弦值就是x，即sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1].其中arc是“弧”的意思，sinx是指正弦值为x，合在一起表示“正弦值为x的弧所对的角的值”.

有了反正弦函数，我们就能解决前面提出的问题：

我们可以得到当时，则

那么若时，x=？

两种解法：①sin（π-x）=sinx，；（2）研究单位圆，发现是一对补角.

同理，x=？.当时，，其他范围的角可用诱导公式得到.

结论：对于不在区间内的角，只要转化到区间内就能用反正弦函数值表示.

（二）反正弦函数的性质与图像

我们已经得出了反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]，作为一个函数，我们要研究它的图像和性质.

1.函数图像

问题3：怎样作出反正弦函数的图像？

根据原函数与反函数的图像关于直线y=x对称得到.

演示图像.数形结合直观地了解反正弦函数的性质.

2.函数性质

问题4：反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]，作为一个函数，它有哪些性质？这些性质你是怎样得到的？说明理由.(https://www.daowen.com)

（1）定义域：[-1，1]；（2）值域：

（3）单调性：arcsinx在区间[-1，1]上是增函数；

（4）奇偶性：arcsinx在区间[-1，1]上是奇函数；

（5）最值：当x=-1时，；当x=1时

作为原函数f（x）=sinx，，y∈[-1，1]的反函数，其定义域和值域分别由原函数的值域和定义域确定.它的性质与原函数相同.

你能用定义证明反正弦函数的单调性与奇偶性吗？

（1）奇偶性

证明：∵x∈[-1，1]∴-x∈[-1，1].

∴arcsin(-x)，

∴sin[arcsin(-x)]=-x，sin(-arcsinx)=-sin(arcsinx)=-x.

∴sin（-arcsinx）=sin[arcsin（-x）]=-x，且正弦函数在区间上单调递增（即一一对应）.

∴arcsin(-x)=-arcsinx，x∈[-1，1]

∴y=arcsinx是奇函数.

（2）单调性

证明：对任意x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2.

假设arcsinx1≥arcsinx2，

∵y=sinx在区间上单调递增，且arcsinx1，

∴sin（arcsinx1）≥sin（arcsinx2），即x1≥x2，与题设矛盾.

∴arcsinx1＜arcsinx2，反正弦函数y=arcsinx在区间[-1，1]上是增函数.

（三）反正弦函数的应用

例1　求函数y=π-arcsinx，x∈[0，1]的反函数.

解：siny=sin（π-arcsinx）=sin（arcsinx）=x，得y=sinx，

例2　求函数y=2+sinx，的反函数.

解：

又y=2+sinx=2+sin（π-x），sin（π-x）=y-2，π-x=arcsin（y-2），

∴x=π-arcsin(y-2).∴y=π-arcsin(x-2)，x∈(1，3).

小结：这节课，我们学习了反正弦函数及其图像与性质，了解了符号arcsin的含义，并应用反正弦解决了实际问题.

五、教学设计说明

怎样的问题链才能揭示“反正弦函数的本质”是我们在进行教学设计时主要关注的问题.

在教学设计时，我们主要考虑两个核心问题：

一是为什么要学习反正弦函数，这是因为三角中若已知角的正弦值，我们希望能通过某种方法，把这个角反表示出来，并且进一步考虑当正弦值在区间[-1，1]内变化时，相应的这个角怎么变？这就是探讨一个函数的反函数的问题.

二是如何展示反正弦函数概念的形成过程？利用反函数的概念判断正弦函数是否存在反函数，在什么条件下一个函数存在反函数，利用函数与反函数的关系，探究反正弦函数具有什么性质.基于这样的理解和认识，我们设计了上述问题1—4的问题链.

通过对问题2的探究，引出反正弦函数的定义；问题3和问题4的目的是从函数的角度进一步理解与认识反正弦函数的概念.

六、教学反思

本节课是以问题链为线索，引导学生由浅入深地逐步理解和掌握反正弦函数的概念.因为问题链如何设计，如何展开是我需要着重研究和反思的课题.因此，我谈几点自己的反思和体会.

（一）问题的设计与展开要注意揭示数学概念的本质

这部分内容在前面教学设计中已经有详细说明.

（二）问题的设计与展开要考虑学生的认知基础

在问题的设计与展开过程中，要充分考虑学生现有的认知基础，要思考所学知识所需要的知识基础，要弄清楚所学的内容，它的生长点在哪里？这个生长点是否已经植入学生的大脑中？“反正弦函数”这节课的生长点就是“反函数的概念”，有了“反函数”这颗“种子”，反正弦函数才会在学生的大脑中生根发芽，也就是我们常常说的“应该从学生已有的知识与已有的方法中逐步引出新的知识与新的方法”.所以在问题1出现之前，我们首先复习反函数的概念：提出“一个函数存在反函数的条件是什么”的问题，此后的一系列问题都建立在反函数概念的基础上.从一定意义上讲，这些问题的解决也促进了学生对反函数概念的理解.

（三）问题的设计要注意符合学生的认知习惯

对学生来讲，抽象的、概括性的问题，大都会引起学生思维的障碍.所以在对问题的设计和展开过程中，要充分考虑学生的认知习惯和认知风格，合理分解问题，要注意由简单到复杂，由具体到抽象.

（四）问题的设计与展开要善于激发和利用学生的认知冲突

对于新概念的学习，要多问几个为什么，尤其要引导学生多问“为什么”，因为这样做不仅可以帮助学生深刻理解概念，也能帮助学生形成良好的思维习惯.在教学过程中，在解决“为什么”这类问题时，要善于制造和激发学生的认知冲突，在探究冲突中达到对知识的理解和掌握.

在认识“arcsinx的意义”时，我提出：“arcsinx表示什么？”一个学生回答：“arcsinx表示一个角，它的正弦值是x.”此时这个回答可能反映了大多数学生对符号arcsinx的理解，而这个理解是不完整的.我认为在这里花点时间将概念理清是值得的.于是，我制造了这样的认知冲突：正弦值是x的角都能用arcsinx来表示吗？

学生甲：“这里的x、y是一一对应的，所以arcsinx只能表示一个角.如前面提到的只能是

学生乙：arcsinx表示的是一个取值范围在区间内的角，它的正弦值为x.

由此，我们可以归纳出arcsinx所表示的意义.

认识了arcsinx的意义后，自然又产生了这样的问题：将反正弦函数定义在区间上研究方便在哪里？为此我又制造了这样的认知冲突：学习了反正弦函数后，我们能解决前面提出的问题：，x=？，x∈（0，π）吗？学生经过讨论，得出应分两种情况，当时，则；当时，不能用表示.怎么办？观察后发现它们是一对补角，所以由得.接着又有学生发现可以把角x化为内的角，再用诱导公式sin（π-x）=sinx，来求解.由此得出结论：对于不在区间内的角，只要转化到区间内就能用反正弦函数值表示，而诱导公式能将一个任意角三角比化为锐角三角比.这样设计使学生在不断的和原有认知的冲突中，找到解决问题的方法，同时也理解了为什么把反正弦函数定义在区间上研究比较方便.

（五）问题的设计与展开要注意提高课堂教学的效率

首先要明确重点与难点，应该把主要时间与精力花在难点的突破与重点的理解上.比如将原本在课堂上反函数的复习环节改为放在课前预习阶段完成.

其次要激发学生的兴趣，学生主动投入了，我们的课堂才会更有效率.前面所述的制造和利用学生的认知冲突就是一种很好的激发兴趣的方法.另外，适当介绍一些数学知识的来由，也能激发学生探索的热情.

七、专家点评

在“问题驱动”数学概念教学中，教师需要预设一系列导致概念发生的过程，反映数学概念本质的问题来驱动学生思考，使学生在解决问题过程中获得概念的不断抽象形式，从而把握概念的实质内涵.因此“问题”是核心.如何设计问题，如何展开问题，如何以问题（或问题链）为中心开展数学知识与数学方法的学习？这是问题驱动教学成败的关键.

这节课所设计的一系列问题链既体现了教学的核心内容，揭示了反正弦函数的本质；同时也充分考虑了学生在学习本节课时的知识储备和心理特点.根据这个年龄段学生的好奇心较强的特点，设置一些情境问题，把学生主动探究的精神激发出来，有利于后继问题的探究.

教师在实施教学时，能善于应变，灵活掌握，对于学生自然生成的问题，有取舍.节省下来时间用于探索关键问题，这样整个课堂教学的效率就比较高，教学节奏也更为紧凑.