数列的最值初步研究
上海市市东中学 浦静滢
一、教学目标
1.通过对一些具体数列（通项公式明确）的最值问题的解答，掌握一些求数列最值的方法，类比函数最值，理解数列最值的含义.
2.通过对等差数列前n项和的最值研究，经历从函数视角出发研究数列最值的过程，体会“从特殊到一般”以及“转化”的思维策略，提高将所学知识加以融会贯通的能力.
3.通过利用函数思想研究数列的最值，明确两者之间的内在联系，知道数学内容中普遍存在着相互联系、相互转化的规律，体会温故而知新的道理，建立利用已有知识指导解决新问题的思想观念.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
运用函数思想研究数列最值问题.
（二）教学难点
数列最值问题研究中的类比和推广.
三、教学方法
以学生为中心，问题变式为驱动，运用转化的思维策略引导探究、启发式教学.
四、教学流程
五、教学过程
（一）预习演练
1.求下列数列{an}的最值
（1）已知an=-n2+7n（n∈N*），求an的最大值.
解：an|max=a3=a4=12.
（2）已知
），求an的最小值.
解：an|min=a12=a13=25.
（3）已知
，求an的最大值和最小值.
解：an|max=a4k+1=1，an|min=a4k+3=-1（k∈N）.
2.求下列数列{an}的最值
（1）已知an=n3-25n+24（n∈N*），求an的最小值.
解：an|min=a3=-24.
（2）已知
，求an的最大值.
解：
3.问题反思
（1）类比函数的最值，如何定义数列的最值？
（2）如何理解数列与函数的相互关系？
（3）求数列最值有哪些常见方法？
4.归纳小结
（1）已知数列{an}，对于任意的n∈N*，存在m∈N*，有an≤am（an≥am），则称am为数列{an}的最大（小）值.
（2）数列可以看作是定义域为正整数集（或其子集）的函数.
（3）研究数列最值的一些常用方法：
①运用常见函数的特点（注意n∈N*对问题的影响）；
②运用数列单调性的定义.
（二）问题探究
1.问题引入
在预习演练中，每个数列的通项公式皆已明确，可从函数解析式着手加以解决，若通项公式不明时又当如何解决呢？看下面问题：
例 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＜0，S8=S13，则当n取何值时，Sn最小？
题意解读：（1）a1＜0对Sn的最值有何影响？（2）S8=S13有何意义？（3）等差数列的前n项和Sn有何特征？
参考解答：具体讲解视学生实际表现情况而定.
解法一：由S13-S8=a9+a10+a11+a12+a13=5a11=0，
可知当1≤n≤10时，an＜0；当n=11时，an=0；当n≥12时，an＞0.（n∈N*）
所以当2≤n≤10时，Sn＜Sn-1；当n=11时，Sn=Sn-1；当n≥12时，Sn＞Sn-1.（n∈N*）
由数列{Sn}的单调性知：当n=10或11时，Sn最小.
解法二：
，其对应的二次函数对称轴为n=
因为n∈N*，所以当n=10或11时，Sn最小.
2.问题变式1
（1）如果将a1＜0改为a1＞0，其他条件不变，会对问题产生怎样的影响？
（2）在a1＜0的情形下，如果将S8=S13推广到一般情况：Sp=Sq（p、q∈N*，p＜q），其他条件不变，如何求数列的最值？
分析：（1）研究Sn的最大值.（可根据问题引入中的题意解读三个步骤进行分析）
（2）
，其对应二次函数的对称轴为
因为n∈N*，p、q∈N*，p＜q，
所以若p、q同奇同偶，则当
时，Sn最小；
若p、q一奇一偶，则当
和
时，Sn最小.
（以上为参考分析，具体情况根据学生的回答进行调整）
3.问题变式2
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＞0，Sk＞0，Sk+1＜0（k∈N*），则当n取何值时，Sn最大？
分析①：a1＞0，公差d＜0.(https://www.daowen.com)
因为
，所以由Sk＞0得a1+ak＞0，由Sk+1＜0得a1+ak+1＜0.
当k为奇数时，
由a1＞0，d＜0可知，当
时，an＞0；当
时，an＜0.
所以当
时，Sn最大.
当k为偶数时，
由a1＞0，d＜0可知，当
时，an＞0；当
时，an＜0.
所以当
时，Sn最大.
分析②：设Sn对应的二次函数y=f（x）的零点为x=x0，则x0∈（k，k+1）.
y=f（x）的对称轴为
，其中
当k为奇数时，
，所以当
时，Sn最大.
当k为偶数时，
，所以当
时，Sn最大.
思考：通过对等差数列的前n项和Sn的最值问题的探究，能否将该问题类比到各项均为正数的等比数列中，写出一个正确的命题，并加以证明.
研究流程：（根据学生讨论后提出的具体内容进行分析和研究）
①学生小组讨论；
②以小组为单位提出命题，并给出相应证明；
③其他同学进行评价，如发现错误则进行修正.
（三）小结回顾
1.数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数，所以研究数列的最值问题，常常从函数的思想和观点出发，借助函数的图像和性质来进行研究.
2.类比思想是研究等差数列和等比数列的常用方法，在研究数列最值的问题上也可运用此类思想方法.
3.数学中普遍存在相互联系和相互转化的规律，了解这些规律可以帮助我们将所学的数学知识进行归纳，使之系统化，加深对数学知识的理解和认知.
（四）课后作业
1.等差数列{an}中，a1＞0，a18+a19=0，则{an}的前n项和Sn中最大的是（ ）.
(A)S8 (B)S9 (C)S18 (D)S17
2.等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，满足S6＜S7且S7＞S8，给出下列命题：
（1）数列{an}中前7项是递增的，从第8项开始递减；（2）S9一定小于S6；（3）a1是最大项；（4）S7不一定是Sn的最大值.其中正确的命题的序号是___________.
3.数列{an}中
，则当n=___________时，an取最小值.
4.数列{an}中，
，则数列{an}中有没有最小项或最大项？若有，是第几项？
5.已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4（n∈N*）组成等差数列.
（1）求数列{am}（1≤m≤n，m、n∈N*）的通项公式am；
（2）令Cm=amlogaam，是否存在实数a，使得数列{Cm}中任一项恒小于它后面的项？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
本节课是上教版高中数学二年级第一学期第七章《数列与数学归纳法》第一部分“数列”的复习课.主要内容是研究等差数列的最值以及等比数列最值的类比推广.本堂课属于拓展课.从知识体系上看，是经历从函数视角出发研究数列最值的过程，明确函数和数列在知识体系上的内在联系.体会“从特殊到一般”以及“转化”的思维策略，知道数学中普遍存在相互联系、相互转化的规律，体会温故而知新的道理，建立利用已有知识指导解决新问题的思想观念.
（二）学情分析
高二学生已经经历过“函数”的学习，对于函数的最值有比较全面的了解.在学习数列知识之后，对于等差数列和等比数列的知识相对比较熟悉，但是函数和数列之间存在的内在联系是学生比较容易忽略的.在如何将两者的知识体系和研究方法进行转化和贯通上，还存在可以进一步引导的空间.
（三）教法与学法分析
本节课选用了“从一般到特殊”以及“变式”教学的模式，这是基于以学生为主体，希望学生在课堂中通过观察、发现和探究的方式得到正确结论.“从一般到特殊”的方式使得学生在研究这部分内容的时候，将一个比较抽象难懂的问题进行合理分层，在特殊问题研究的基础上，将研究方法推广到一般问题.在“变式”教学的过程当中，以已经解决的问题为基础，改变某些条件从而产生新的问题，并且关注这些改变的条件对于问题的影响来解决新问题.在变式过程中，不仅让学生观察和探究了新问题，也增强了他们发现问题和提出问题的能力.
七、板书设计
数列的最值初步研究
（一）预习演练
……
（二）问题探究
1.问题引入：……
解法一：……
解法二：……
2.问题变式1：……
分析：（1）……（2）……
3.问题变式2：……
分析①：……
分析②：……
思考：（学生分析内容）
……
八、课堂反思
本节课是“数列”学习之后的复习拓展课.课堂教学设计以发现问题作为线索，以“从一般到特殊”“问题变式”等方法作为推进方法，符合学生的思维特点.在巩固数列知识的同时，让学生了解函数知识和数列知识之间的内在联系，并在数学问题的研究方法上进行类比和推广.
反思本节课，完成了教学任务，学生在问题发现和问题探究中也比较投入，小组讨论和互动比较充分.本节课的容量较大，对于学生思维的要求层层递进，对于学习能力中等以上的学生开展比较顺利，个别学习能力相对较弱的学生在本节课的推进过程中，对于比较抽象的问题在掌握上还有一定的困难.如何在课堂中开展更加合理的分层教学，提出不同层次的目标来符合不同能力学生的需求，是教师可以在今后课堂中进一步思考和尝试的.
九、专家点评
本节课是“数列”学习之后的复习拓展课.该内容的教学将数列知识与高一所学的函数知识进行联系，通过函数最值的研究和数列最值的研究方法类比推广作为教学内容，在复习巩固的同时，使学生意识到数学知识的内在联系，进而产生将数学知识系统化的认知.
在教学开展的过程中，注意从特例出发，并将研究方法和结果一般化，为学生研究一类问题提供了具有可操作性的思路和方法.
关注“问题变式”的教学，通过改变问题中的条件来引发学生新的思考.在“问题变式”的研究中，关注条件改变对问题本质产生的影响，引导学生从问题的本质改变来进行思考和分析，进而对问题解决的方法进行调整.以学生比较熟悉的等差数列的最值问题作为研究的主要对象，并在此基础上将问题推广到等比数列的最值研究，在“问题变式”研究的基础上鼓励学生自己将问题进行推广，使其经历“发现问题—分析问题—解决问题”的过程，使学生从一开始在教师引导下进行学习发展成为自主学习和小组互动学习.