椭圆的标准方程
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解、掌握椭圆的定义和标准方程.
2.了解椭圆标准方程的推导过程.
3.体会椭圆方程化简过程中的同解变形.
4.掌握利用方程的代数性质研究图形的几何性质的方法.
（二）过程与方法
1.在总结、归纳圆和线段的中垂线等图形的共同特点的过程中，学生经历类比、猜想等思维过程，掌握科学的分析方法.
2.在推导椭圆标准方程的过程中，学生学会建立曲线方程的步骤，了解同解变形的必要性，培养思维的严密性.
3.通过利用方程的代数性质研究曲线的几何性质，体会解析几何研究问题的基本方法，并自觉地运用这种方法研究其他曲线的几何性质.
（三）情感态度价值观
1.在类比、猜想、探究的过程中，体验学习数学带来的自信和成功感，激发学习数学的兴趣，提高学习积极性.
2.在采取各种合作方式解决问题的过程中，学生养成相互交流的习惯，并获得良好的情感体验.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
1.椭圆的定义.
2.椭圆的标准方程.
3.利用椭圆的标准方程讨论椭圆的几何性质.
（二）教学难点
1.“发现”椭圆的定义.
2.推导椭圆的标准方程（同解变形）.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）引出问题
平面上到定点的距离为正常数的动点的轨迹是圆，到两个点的距离相等的动点的轨迹是联结两点的线段的中垂线.根据这些定义，可以制成下面的表格.
上述两个定义都利用了条件——“到点的距离”，进一步，可以从不同的途径考虑类似的问题，如改变定点的个数、改变距离满足的条件，等等.即当动点到定点（一个或多个）的距离满足一定的条件时，动点的轨迹是什么？明确课题内容：平面上到给定两点的距离之和为正常数的动点的轨迹是什么？
说明：
1.从学生熟悉的曲线定义中，提炼共性，启发学生思考，为引出椭圆定义做准备.
（二）分析问题
当正常数小于两定点间距离时，这样的动点不存在；当正常数等于两定点间距离时，动点的轨迹是联结两点的线段（包括端点）；当正常数大于两定点间距离时，才存在满足条件的点（如两定点连线中垂线上的点）.（计算机演示）利用绳子模型大致了解该曲线的形状.
（三）形成定义(https://www.daowen.com)
平面上与两个定点的距离和等于正常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作焦距.
（四）推导方程
建立坐标系求椭圆方程：设两定点为F1、F2，|F1F2|=2c，动点P到F1、F2的距离之和为正常数2a（a＞c＞0），以线段F1F2中点为原点，以直线F1F2为x轴建立直角坐标系，则F1、F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）.
设P（x，y）是椭圆上的一点，则|PF1|+|PF2|=2a，即
注：为了说明最后一个方程是所求曲线的方程，需要证明上述变形过程为同解变形，显然只要说明两次平方过程是同解变形即可.
证明上述过程为同解变形：由方程（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）知，|x|≤a，且y2≤a2-c2，所以cx≤c|x|＜a2，第二次平方变形为同解变形.又因为
所以第一次平方变形为同解变形，最后一个方程为所求方程.注意a2-c2＞0，可令b2=a2-c2，则b2x2+a2y2=a2b2，即
2.分析形成曲线的几何条件.
3.从定义出发分析曲线的对称性，利用对称性建立平面直角坐标系.
4.推导过程中强调变形的等价性.
（五）利用方程的代数性质研究图形的几何性质
设椭圆上
的一点P（x，y），则点（-x，y），（x，-y），（-x，-y）的坐标也满足方程，而这三点分别是点P关于y轴、x轴和原点的对称点.由P（x，y）的任意性得，椭圆
=1关于x轴、y轴和原点对称.为了作出椭圆的图形，只需作出其在第一象限的部分即可，此时，方程可化为
（x≥0），这一部分曲线是一条联结点（0，b）和（a，0）的曲线.利用对称性就可以得到在其他象限的图形，如图4-2所示，其中线段A1A2称为长轴，线段B1B2称为短轴，根据前面的讨论，长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b.
图4-2
（六）椭圆的标准方程
方程
称为椭圆的标准方程，该椭圆的两个焦点位于x轴上，并关于原点对称；若将椭圆的两个焦点置于y轴上，并关于原点对称，就可以得到另一种形式的标准方程：
（七）例题
例1 化简方程.
例2 若方程
表示的曲线是椭圆，求实数k的取值范围.
例3 已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为6，且该椭圆经过点（0，4）.求它的标准方程.
5.研究方程解的代数性质，与曲线的几何性质相呼应.
6.强化对曲线定义的辨析.
（八）小结及引申问题
1.椭圆的定义（注意定义中的条件）.
2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）.
3.由推导过程的等价性，我们知道，方程
也是椭圆的方程，该方程的优点是直接反映椭圆的定义，缺点是使用不方便；而方程
的优点是形式简单，使用方便；那么方程
反映了怎样的几何特征？
7.在证明推导过程为同解变形的基础上，挖掘方程的几何意义和曲线的其他几何性质.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
本节课是上教版高中数学二年级第一学期第十一章《圆锥曲线》的第一课时“椭圆的标准方程”.本节课的主要内容是“发现”椭圆的定义和推导椭圆的标准方程，在课型上属于“概念课”.从知识的体系上来看，“椭圆”是利用代数方法研究曲线几何性质的典型代表.本节课通过椭圆定义的引入和椭圆方程的推导，深化学生对代数方法的认识，提高学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
（二）学情分析
学生在学习了直线的方程、圆的方程的基础上，对“利用代数方法研究曲线的几何性质”有了初步的认识，但在解决直线与圆的问题时，平面几何的痕迹还是比较明显的，而椭圆是一种学生没有系统研究过的曲线，从研究简单熟悉的几何对象到研究圆锥曲线，跨度较大，学生的思维存在一定的障碍，学习内容对学生的几何和代数能力要求更高，难点有三：一是如何形成椭圆的定义；二是在推导椭圆标准方程的过程中，如何利用椭圆的定义分析曲线的对称性，进而建立平面直角坐标系；三是如何处理比较复杂的根式化简.因此，教学设计时从学生熟悉的曲线开始，提炼共同点，触发学生探究的动力；在形成定义的基础上，重点围绕坐标系的建立方式与方程的化简变形展开，引导学生分析问题、解决问题.
本节课围绕“提炼共性—发现定义—研究性质—推导方程—回顾反思”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过对简单曲线的性质的提炼，在教师的引导下，探究并形成椭圆的定义，符合从感性认识上升为理性认识的认知规律，提升了抽象概括的能力.同时在推导椭圆标准方程的过程中，提高对用代数方法研究几何问题的理解，运算能力得到进一步的锻炼.
授课过程比较紧凑，对学生的数学学习能力要求较高.
八、专家点评
教师从探究曲线的形成条件入手，层层提问，师生互动，重视对学生思维过程的引导和启发，促使学生发现并形成椭圆的定义；问题设置循序渐进，顺其自然，教学过程充分体现了教师作为组织者和引导者的作用，让学生通过思考、分析、推理、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题.教学过程能激发学生的学习积极性，能调动学生突破教学重难点.另外，通过学法指导，引导学生的思维向更深更广的方向发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好铺垫.