双曲线的标准方程

2026年01月15日

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双曲线的标准方程

上海市行知中学　张　怡

一、教学目标

（一）知识与技能

1.能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距.

2.能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置.

3.能根据已知条件求双曲线的标准方程.

（二）过程与方法

1.经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力.

2.在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用.

（三）情感、态度与价值观

1.经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美.

2.通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨.

3.经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度.

二、教学重点和难点

（一）教学重点

双曲线的定义及标准方程.

（二）教学难点

1.由双曲线的标准方程确定焦点位置.

2.根据条件求双曲线的标准方程.

三、教学方法与教学手段

（一）教学方法

本节课以学生为中心，问题为驱动，探究性教学法和启发式教学法为主.

（二）辅助教学手段

多媒体辅助教学.

四、教学流程设计

五、教学过程

（一）复习回顾

椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆.

（二）新课引入

1.动态引入

教师：平面内与两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？

（多媒体演示从而得到双曲线的图像）

2.双曲线的定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作焦距，记为|F1F2|=2c（c＞a＞0）.

教师：平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是什么？

学生：双曲线的一支.

教师：若常数2a=0，轨迹是什么？

学生：以F1、F2两点为端点的线段的垂直平分线.

双曲线的定义应为：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线.如图4-3所示.

图4-3

教师：若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？

学生：是在直线F1F2上且以F1、F2为端点向外的两条射线.

教师：若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？

学生：不存在.

（三）双曲线标准方程的推导（师生共同完成）

1.根据对称性合理建立平面直角坐标系；使x轴经过两焦点F1、F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线.

2.设双曲线上任意一点M（x，y），根据|F1F2|=2c⇒F1（-c，0）、F2（c，0）；

3.利用定义，

化简方程：将上述方程化为

移项两边平方后整理，得

两边再平方后整理，得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

由双曲线定义知2c＞2a，即c＞a，所以c2-a2＞0.

设c2-a2=b2（b＞0）代入上式整理，得.如图4-4所示.

图4-4

图4-5

教师：如果以F1、F2的连线为y轴，|F1F2|的中垂线为x轴建立平面直角坐标系，如图4-5所示，则此时双曲线的方程又是什么形式？

由学生猜想结论：(https://www.daowen.com)

课后学生自己完成证明.

4.双曲线的标准方程的特点：

（1）c2=a2+b2，c＞a＞0，c＞b＞0，a、b之间无大小之分.

（2）右端为1，左边用“-”连接.

（3）x2与y2的系数符号决定焦点所在的坐标轴.x2、y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关.（注意与椭圆的区别）

（四）联系实际、运用新知

例1　求下列曲线的a、b、c以及焦点坐标.

解：（1）因为y2的系数为正，所以

则且焦点在y轴上，所以焦点坐标为（0，3），（0，-3）.

（2）先将方程化为标准方程：

因为x2的系数为正，所以

则且焦点在x轴上，

所以焦点坐标为

例2　已知双曲线的两个焦点坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.

解：由定义可知所求点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线.

因为a=4，c=5，所以b2=c2-a2=9.

故所求双曲线的方程为

教师：如果把上面的8改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

学生：若2a=12，且2c=10，则此时2a＞2c，所以动点轨迹不存在.

练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程.

（1）a=4，b=3；（2）焦点（0，-6），（0，6），经过点（2，-5）.

练习2：已知方程表示双曲线，求m的取值范围.

思考题：已知A、B两地相距800米，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且已知声速为340米/秒，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

（五）课堂小结（学生完成）

1.双曲线的定义.

2.双曲线的标准方程.

3.双曲线与椭圆的区别.

（六）课后作业

课后练习12.5.

六、教学设计说明

（一）教学内容分析

本节课是上教版高中《数学》（高二年级第二学期）第十二章第五节“双曲线的标准方程”第一课时的内容.本节课的主要内容是引入双曲线的定义及其基本方程，并且学会运用双曲线的基本方程解决问题.在课型上属于“定理教学课”.双曲线在社会生产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握.学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对圆锥曲线研究内容的进一步深化和提高.双曲线的定义与椭圆的定义相比难度增大，所以本节课在本章中的地位非常重要.

（二）学情分析

通过椭圆的学习，学生已经对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法有了一定的认识，为双曲线的学习在数学思想、方法等方面打好了基础，作好了铺垫.而在双曲线的学习中，如果把双曲线的定义及其标准方程研究透彻、清楚了，不仅很容易解决双曲线的定义及其标准方程，而且能为双曲线的简单性质的学习打下坚实基础.通过双曲线的定义及其标准方程的学习，学生对已经学过的椭圆及其标准方程会有更深的理解，对抛物线的学习就会顺理成章，并对圆锥曲线部分的解题有很大帮助，所以本节课在本章中起着承前启后的作用.

（三）教法与学法分析

教学过程是教师和学生共同参与的过程，要启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性，并同时有效地渗透数学思想方法，提高学生素质.根据这样的原则和所要完成的教学目标，为激发学生的学习兴趣，采用如下的教学方法：

（1）引导发现法：启发引导学生思考分析、探索归纳，充分调动学生的积极性、主动性.

（2）多媒体演示法：更形象地展示双曲线形成的过程，帮助学生理解，激发学生的学习兴趣.

（3）类比对照法：通过引导学生比较椭圆和双曲线的异同，使学生能进一步掌握双曲线的定义和标准方程.

（4）练习巩固法：更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高.

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，进行了以下学法指导：

（1）探究式学习法：通过提问，引导学生探究新的问题，并共同解决.

（2）自主性学习法：充分发挥学生的自主性，引导学生自己发现问题，解决问题.

（3）对照比较学习法：通过与椭圆的类比，更好地理解掌握双曲线的定义和标准方程.

（4）反馈练习法：通过适当的练习，进一步掌握双曲线的有关知识.

七、板书设计

双曲线的标准方程

八、课堂反思

双曲线相比椭圆，是学生不太了解的一种图形，教材中虽然有拉链，有双曲线的图像，但那是静态的，为什么在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的距离之差的绝对值为定值，学生对本质并没有一个直观的理解，所以运用多媒体演示用拉链画出双曲线图像的过程，能变抽象为直观，帮助学生理解.

教学方法：以类比发现思维作为教学的主线.（1）双曲线的定义与椭圆定义类比；（2）双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比；（3）在双曲线和椭圆中，2a与2c的意义及大小关系的类比；（4）焦点在x轴上的方程与焦点在y轴上的方程类比.

学生参与度：通过问题的设置，循序渐进地引导学生去发现问题、解决问题.通过问题的设置，让学生参与进来，进行思考、交流，共同进步.教师提出的问题，大部分的学生能够解决，从而可以让学生牢固地掌握知识.对于一些深层次的问题，学生也可以通过相互交流、讨论，自己去解决.

小小的遗憾是由于时间关系，结束得比较仓促，但由于课前准备非常充分，学生的反应也很好，基本达到了预期的教学效果.

九、专家点评

课堂教学效果发生了根本性的变化，教师不再是简单的知识传授者，而是一个活动情境的创设者、活动过程的组织者，通过提问调动了学生的学习主动性，使他们真正成为学习的主人，努力地探索解决问题的方法，发表自己的观点，充分体现了新课程“以教师为主导，以学生为主体”的教学理念.

为新知识的学习搭建合理平台.主要体现在教师能够运用原有知识来推动新知识的学习，让学生大胆借鉴学习椭圆的标准方程的方法来探究双曲线的标准方程.利用迁移规律，让学生从求椭圆的标准方程的思路、方法中得到启示，得出求双曲线的标准方程的方法，使新旧知识得到整合.这种借鉴的学习方法，不仅使本节课的教学变得轻松，同时有利于学生更深刻地理解和掌握这种学习策略，有利于学生的进一步学习和终身的发展.

很好地利用了多媒体展示双曲线的形成过程，让学生体会数学就在身边的思想.学习活动尽量让学生感受与体验，注重学生在观察、猜想、交流、类比等活动中体会数学知识的产生和形成.这样的学习，学生学得活、记得牢，既发挥教师的主导作用，又体现了学生的主体地位.学生在学习过程中，是一个探索者、研究者、合作者、发现者，并且获得了富有成效的学习体验.

在整节课中，教师时而轻快活泼，时而语调舒缓，不把语调停在一个节奏上，不使学生产生疲倦，特别是“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”及“三步一回头”很生动形象.整节课各环节层层递进，环环相扣，循序渐进，没有一点拖泥带水之感.整体学习过程逻辑清晰，学生主体地位体现充分，学生配合好，课堂气氛比较活跃.教师穿插点评、补充、总结、讲解，少而精.评价方式多样灵活，教学中能够正确使用鼓励性的语言评价学生.