余弦定理（第一课时）

余弦定理（第一课时）

上海市复旦实验中学　袁　青

一、教学目标

（一）知识与技能

1.引导学生经历使用勾股定理尝试发现、归纳猜想、严谨推导余弦定理的过程.

2.初步学习应用余弦定理解决简单的解斜三角形问题.

（二）过程与方法

1.通过对公式结构的分析，引导学生体会数学之美，并利用方程的观点准确理解余弦定理的适用范围.

2.通过演绎法进行余弦定理的证明，培养学生严谨的思维习惯.

（三）情感、态度与价值观

1.体验数学的发现历程，激发数学学习兴趣.

2.体验“试—探—悟”的过程，感悟“特殊与一般、类比与联想、化归转化、数形结合”等重要数学思想方法.

二、教学重点与难点

（一）教学重点

余弦定理的“试—探”过程与灵活使用.

（二）教学难点

余弦定理的“试—探”过程与证明思路的形成.

三、教学方法与教学手段

（一）教学方法

创设情境，以问题为驱动，以学生为中心，运用启发式教学方法，引导学生在主动探究过程中形成概念，深化理解.

（二）辅助教学手段

多媒体辅助教学.

四、教学流程设计

1.活动一：问题导入.

2.活动二：活动探究.

3.活动三：开展构建.

4.活动四：成果运用.

5.活动五：总结反思.

五、教学过程

（一）活动一：问题导入

1.复习旧知

回忆正弦定理的表达公式和它的主要用途.

2.创设情境

提出问题：A、B两地之间隔着一条小河，现选择另一个点C，可以测得AC=182米，BC=126米，∠BCA=63°，求A、B之间的距离.

3.提炼抽象

引导学生将问题数学化：在△ABC中，已知AC=182，BC=126，∠BCA=63°，求AB.

4.认识本质

通过讨论，引导学生识别出问题的本质：已知两边一夹角，求另一边.

（二）活动二：活动探究

1.知识迁移

提问：已经学习过的知识中，有没有涉及三角形中已知两边一夹角求第三边的问题？

2.合作学习、给出实例

学习小组讨论并给出实例：初中勾股定理，如：在Rt△ABC中，C=90°，a=3，b=4，求c.

说明：

1.观察学生能否认清实际问题背后的数学本质.

2.在复习正弦定理之后同时引出不能用正弦定理直接求解的问题后，及时评价学生的思维反应，确定后续教学手段.

3.在抽象化过程中，观察学生认识数学本质的能力.

4.在知识迁移过程中，评价学生已有知识的掌握程度，确定后续合作学习过程中的切入点，让学生体会从简单到复杂逐步深入的探究过程.

3.思维发散

提问：在△ABC中，如果保持a=3，b=4，C发生变化，那勾股定理还成立吗？a2+b2=c2？如果不相等，为何不相等？

（三）活动三：开展构建

1.提出猜想

学生：当C是钝角时，a2+b2＜c2；当C是锐角时，a2+b2＞c2.

2.理性思辨

引导学生从定性研究到定量研究.

3.思维碰撞

提过逐层深入的提问，为学生提供思考空间，碰撞思维火花.

引导学生体会寻找等量关系的过程中其实并不像解很多数学题那样答案总是可以按部就班求解而得，很多时候要开展创造性的思考，离不开假设、猜想，之后需要严谨证明.

4.形成结论

引导学生体会数学语言的精练与准确.

（四）活动四：成果运用

提出如下问题，练习是否能够将得出的结果正确识别、运用.

1.在△ABC中，已知b=3，c=1，A=60°，求a.

2.在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6，求A.

3.在△ABC中，已知b=3，c=1，B=60°，求a.

4.在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6，判断△ABC的形状.

（五）活动五：总结反思

群策群力、总结深化.

1.通过以学习小组的方式对课堂所进行的探究过程进行精炼概述，指出思想方法上留下最深刻印象的地方.

2.教师总结深化学科思想，再次点明学习过程中的思维方法.

5.直角三角形到斜三角形的变化过程中，希望学生体会由已知联系未知的类比推理的方法，根据学生课堂反馈及时评价.

6.在“利用几何画板展示动画效果，保持两直角边长不变，让C大小发生变化，然后继续提问”的过程中，根据学生行为表现，准确确立后续提问方式.

7.引导学生从定性到定量开展分析时，及时评价学生对问题认识是否逐步加深.

8.通过特例进行不严谨验证后，观察学生是否有严谨论证的想法，思路切入点是否准确.

9.在学生遇到不会做的问题时，观察能否用已学会的知识来探索未知问题.

10.在逐步细化构造的过程中，评价学生思维的严谨性.

11.通过具体问题评价学生运用余弦定理解决三类问题的能力.

12.从学生对推演过程的复述的准确性、完整度和对核心思想的理解深度评价学习有效性.

六、课堂实录（活动三：开展构建）

引导学生提出猜想.(https://www.daowen.com)

学生：当∠C是钝角时，a2+b2＜c2；当∠C是锐角时，a2+b2＞c2.

教师：（引导学生从定性研究到定量研究）请同学们进一步思考，是否能用某种等量关系来描绘a2+b2和c2间的关系呢？（留出时间让学生思考）这个关系看来与∠C的大小有关.当∠C是钝角时，要在a2+b2的后面加上一个与∠C相关的表达式；当∠C是锐角时，要在a2+b2的后面减去一个与∠C相关的表达式，也就是说：

当∠C为钝角时，a2+b2+f（C）=c2；

当∠C为锐角时，a2+b2-f（C）=c2.

统一起来为c2=a2+b2-f（C），其中当∠C为钝角时，f（C）＜0；当∠C为锐角时，f（C）＞0，但问题是f（C）究竟是什么呢？来看两个特殊情况.

当∠C=0时，c=|a-b|，可知c2=a2+b2-2ab，思考2ab与∠C的哪个三角比值有关？

当∠C=180°时，c=|a+b|=a+b，可知c2=a2+b2+2ab=a2+b2-（-2ab），思考-2ab和∠C的哪个三角比值有关？（引导学生体会寻找等量关系的过程中其实并不像解很多数学题那样答案总是可以按部就班求解而得，很多时候要开展创造性的思考，离不开假设、猜想，之后需要严谨证明）

学生1：符号的变化好像与∠C的余弦值相关.（定性）

学生2：似乎f（C）=2abcosC？（定量，提出猜想）

教师：我们再试试看∠C=90°时，该表达式是否依旧成立呢？（通过特例进行不严谨验证）

学生：当∠C=90°时，c2=a2+b2-2ab·0显然成立，我们可以这样猜想.

（板书：在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC）

教师：能够证明这个猜想吗？从结构上观察，我们想到了什么？（引导学生进行严谨论证，思路的切入点：结构特征，数形结合）

学生1：还是很像勾股定理.

教师：能直接类比勾股定理？（还是先从类似入手）

学生2：不能，因为∠C可以是锐角或钝角.

教师：非常好！所以我们有必要对∠C的大小进行分类，分为直角、锐角、钝角.我们已经知道∠C=90°时猜想是成立的，那不是直角时该怎么办呢？（引导学生体会遇到不会做的问题时，能否用已学会的知识来探索未知问题，或许能得出未知领域的新结论）

学生：构造直角三角形.

教师：从c2=a2+b2-2abcosC的结构上想想，可以构造怎样的直角三角形呢？（逐步细化构造的过程，启发思考）

学生：构造直角三角形斜边为c.

教师：怎么构造直角三角形斜边为c？

学生：可以过点A或B作对边的高，不如过B作对边的垂线，垂足为点D.

教师：垂足D会落在AC边上的哪个地方呢？（留出时间让学生思考）

学生1：这可说不定，要看三角形的形状.

学生2：还是要看∠A和∠C的大小来决定.

教师：很好！这里我们假设∠A为锐角进行猜想的论证，其他情况大家可以课后继续探究.（提出还存在哪些需要探索的地方，强调思维的严谨时刻不能忘记）

学生：当∠C为锐角时，在△ABD中，

c2=BD2+AD2=(asinC)2+(b-acosC)2=a2+b2-2abcosC.

教师：当∠C为钝角时，在△ABD中，

c2=BD2+AD2=(asin∠BCD)2+(b+acos∠BCD)2

=(asinC)2+(b-acosC)2=a2+b2-2abcosC.

教师：能否用文字语言准确叙述上面的表达式呢？（引导学生体会数学语言的精练准确）

学生：在△ABC中，已知a、b、∠C，则c2=a2+b2-2abcosC.

教师：这是符号语言表达式，能转化为文字语言吗？

学生：在三角形中，一条边长的平方值等于另外两条边的平方和减去这两边与夹角余弦值的积的两倍.

教师：在△ABC中，如果已知b、c、∠A，求a呢？如果已知a、c、∠B，求b呢？（引导学生进行初步的类比思考）

学生：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB.

教师：这就是我们今天学习的余弦定理！请同学们再仔细观察余弦定理中的三个公式，分析它们的结构特征？怎样才能又快又准地记住？（依旧提醒学生观察数学表达式的结构特征）

学生：表达式左边都是一边的平方，右边都类似于另两边差的完全平方展开式，与完全平方展开式略微不同的地方在于还要多乘一个夹角的余弦值，这个角刚好是左边的边的对角.

教师：同学总结得很好，三个表达式中的轮换特征让我们体会到数学公式的内在美.再进一步观察，余弦定理的每个表达式各涉及几个量？遇到具体问题时我们又该如何选择使用？（从观察结构特征，分析运用的方法）

留时间给学生思考、讨论.

教师总结1：已知两边一夹角求第三边，可直接使用余弦定理，进而根据三条边的值求出其他的角.

教师总结2：已知三边求一角的过程可以得到余弦定理的推论：

教师总结3：已知两边一对角，也能通过余弦定理解二次方程求第三边.还可用什么方法求解？

学生：正弦定理.

教师：很好！经过讨论，我们发现余弦定理主要能够解决上述三类问题.

七、教学设计说明

（一）教材分析

三角学的确立是以正、余弦定理为标志的，这是因为三角学是寻求边与角的关系来解决三角问题，而正、余弦定理正是把边与角建立起联系.

笔者在重新整理欧几里得的《几何原本》时发现：平面三角形的余弦定理在《几何原本》中都已被间接地提出来，这说明当时正、余弦定理的确立已经具备了条件，欧几里得和他的学生们提出“相似三角形的对应边长度之比相等”，从而对只依赖于角的比值命名：

这个定义提供了边与角的关系，但平面三角形中余弦定理的确立是随着历法和航海的发展过程，在对球面三角形进行研究的过程中得出的副产品.希腊的三角学是球面三角学，其中包括平面三角的基础内容，直到1450年以后，由于平面三角在测量中的重要性，它才受到重视.从历史发展的顺序而言，球面三角的发展先于平面三角，正、余弦定理就是在这种历史条件下产生的，其数学思想方法和思路如下：

如图2-20所示，假设三角形三边长为a、b、c，将斜三角形分割为两个直角三角形，再根据勾股定理可得：p2=a2-d2=c2-（b-d）2.

由此得：c2=a2+b2-2bd，所以，则d=acosC.

由此得：

图2-20

本课例研究结合了笔者的实践经验，希望探索将数学史与数学教育融合的较优化方式，实现将数学家发现数学的思维过程、思想方法、逻辑结构迁移到数学教育中，切实提升学生的思维能力、学科素养，同时让学生能形成数学是动态发展的和充满美感的印象.

本课例的设计上尝试在“将数学史与数学教育融合”的视角下重新对余弦定理的内容进行整合，探索符合学生认知规律且符合三角学历史发展规律的教学设计，让学生体会再创造的过程.

（二）学情分析

学生已具备的数学知识有：勾股定理、直角三角比、任意角、任意角三角比、和差倍半公式与三角恒等变换、正弦定理，并且高一年级的学生还具有一定程度的直观分析、归纳总结、运算求解、推理证明的能力.

在本课的学习过程中，笔者认为学生学习的困难主要存在以下三个方面：

1.学生能直观感知在直角、锐角、钝角状态下边长受角度的影响，但还不能够从定量的角度准确刻画出余弦定理所表征的数量关系.

2.学生总体的自主探究能力还不够强，所以虽有不错的学习基础和学习兴趣，但由于知识系统性不强且运算能力一般，使得学生自主探寻余弦定理证明方法的过程显得比较困难.

3.学生还不擅长用准确的语言文字对余弦定理进行描述.

（三）教法与学法分析

在实际教学过程中，将数学史料融入教学的方式是多样的，对教师而言最简单的方法就是通过显性附加的方式将上述数学史料外加于教学内容，即在教材中阐述正、余弦定理时，联想上述史料，进而进行介绍.这种设计可条理清晰地叙述某一方面的数学史料，让学生在阅读的过程中感受数学家严谨治学的态度和数学发展的曲折历程.但经过长期的实践研究，笔者根据教学反馈的情况发现，通过这种显性附加的方式运用数学史料的优点是能够有效激发学生的学习兴趣，间接促进教学效果，而其缺点是造成教学时间不足，教学过程中进行讲解势必会占用大量课堂时间.同样从学生的反馈意见来看，也呈现出对数学史料本身是感兴趣的，但对于教学过程中附加数学史料的做法不少同学持保留态度，持反对意见的主要原因依旧与升学压力有关，诸如时间的花费、课堂演练机会的不足等问题使得学生担心会影响教学效果（考试成绩）.

本课设计之初笔者同样认识到由于显性附加的方式只是在过去教学的基础上附加一些数学史料，没有注意数学史与学生认知过程的融合，同时会占用较多课堂时间.从学生的意愿来看，如果数学史的应用只停留在说故事的层次，给他们带来的仅仅是兴趣的话，他们宁愿把时间花在多做几道题目上.

因而，在本课教学中笔者通过隐形融入的方式设计将数学史料、教材内容和学生的学习需要综合考虑，再来斟酌具体的课堂教学计划，使数学史融入学习过程中，特别是学生对数学概念、方法的认知过程中，希望能够将数学史中的思想方法和数学知识联系起来，使学生在学习中深刻体会其中的方法.通过隐性融入的方式设计教学，数学史料就成了学生学习课本知识的必要组成部分，其效果除了增进学习兴趣、为数学课堂赋予文化内涵之外，也对学生的认知过程有直接的帮助.

八、课堂反思

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾经批评过那种过于注重逻辑严密、没有丝毫历史感的教材是“把火热的发明变成了冰冷的美丽”.笔者认为将数学史融入余弦定理的教学不仅可以让学生经历了火热的发明，也能带领学生体验冰冷的美丽，充分展示数学的文化价值，有助于学生形成良好的数学思维习惯.

但是将数学史有机地融于教学并非一件容易的事，本身给教师带来了不小的挑战，本节课也只是笔者的一种尝试.根据本课教学实践反馈情况，笔者认为今后还很有必要系统化地对中学数学中概念的发展历史进行专题研究.

中学数学相关概念的历史资料散落在无数文献档案之中，对中学教师而言用起来不方便.笔者认为，能够组织系统化地对中学数学中概念的发展历史进行专题研究是很有必要的.具体来说，就是要思考诸如以下几个方面的问题：数学家们遇到过什么困难？他们怎么解决？能给我们什么启示？方法和课本中一样吗？能举一反三吗？等等.通过让学生体会再创造的过程，使学生获得知识、提升素养.

九、专家点评

数学家们解题，通常不是以问题的解决为终点，而是通过问题的解决获得更大的收获.

就我国目前而言，“将数学史与数学教育融合”的教学模式虽然已受到更多重视，很多教育研究者提出“如果我们在教学中也能渗透这样的想法，那么学生一定也会在潜移默化中慢慢学会洞察本质、触类旁通，提升思维能力”，但是从实践效果看，数学史在数学教学中“地位很高，教学成效却不明显”的尴尬状况仍旧困扰着很多教师.很多教师甚至不假思索地认为“融入数学史”就是讲点数学文化小故事，铺设一些背景素材，既然如此，数学史的功能就只是提升学习兴趣了，那就可有可无了.

本节课教学设计中为更好地发挥数学史料作用，教师在实施的过程中并没有仅仅停留在讲故事的层面，更是注重通过数学史料的引入，帮助学生理解数学故事背后所包含的深刻意涵，凸显出数学的思想方法.

本课采用的“将数学史与数学教育融合”的教学模式就是借鉴历史、重构历史，相信只要老师们在教学中做有心人，那么学生一定也会在潜移默化中慢慢学会洞察本质、触类旁通，真正提升思维能力和科学素养.