正弦定理（第一课时）
上海市行知中学 朱 华
一、教学目标
（一）知识与技能
1.引导学生发现正弦定理的内容，体会正弦定理的证明方法.
2.已知三角形的两角及一边或两边及其中一边的对角，解三角形时，知道选择正弦定理.
3.能运用合理的方法判断三角形解的情况.
（二）过程与方法
1.经历数学探究活动的过程，体会数学的简约、严谨之美.
2.实践由具体到一般的归纳论证过程.
（三）情感、态度与价值观
1.通过正弦定理的推导和证明，培养学生的探索精神和创新意识.
2.以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
1.正弦定理的推导与证明.
2.知道解三角形至少需要已知三个条件，并且在已知三角形的两角及一边或两边及其中一边的对角的情况下，能选择运用正弦定理解三角形.
3.能将实际问题转化为数学问题，并利用正弦定理解决问题.
（二）教学难点
1.发现并证明正弦定理.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角时，判断三角形存在的个数.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）数学探究、引入新知
1.利用几何画板设计数学实验，当改变三角形的形状、边长、角度时，通过观察表格中的数据，尝试得出结论.
教师：大家仔细观察，当改变如图2-11所示的△ABC的边长a、b时，表格中的数据会发生怎样的变化呢？
学生：三角形的边长和角度发生变化时，
的值始终相等.
教师：很好，这一结论仅适合本题中的三角形，还是对所有的三角形都成立呢？
部分学生抢答：所有三角形.
教师：真的吗？怎么证明你的结论？
2.与学生共同证明所得的结论：在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，则
说明：
1.由数学实验引入，引起学生思考，因而探究、推导出正弦定理.
学生：在直角、锐角、钝角三角形中分别证明.
（1）在直角三角形中：
如图2-12所示，易知
又
图2-12
所以
（2）在锐角三角形中：
图2-13
同理，可知
所以
（3）在钝角三角形中：
如图2-14所示，过点C作AB的垂线交BA的延长线于H，则CH=bsin（π-A）=asinB，
得
图2-14
同（2）理，可得
教师：非常好，通过分析，我们得出了结论：在三角形中，各边与它所对角的正弦比相等.我们称这一结论是正弦定理，今天这节课，我们就来学习正弦定理.
（二）联系实际、运用新知
1.回归实际，简单应用
实例分析（课本P67）：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A、B.某日，两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情.在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情北偏西60°方向.已知B在A的正东方向10千米处，请确定火场C与A、B的距离.
2.三角形的面积公式的推导，打算作为应用放在第二课时讲授，因此引入方法与教材中推导正弦定理的方法不一样.
3.“学生的回答”是课前预估学生可能得到的答案，具体情况还需观察课堂实际而做出改变.
学生：可以将本题转化为数学问题.
如图2-15所示，已知在△ABC中，∠CAB=130°，B=30°，AB=10，求AC、BC.
图2-15
分析：
所以
从而可求得AB、BC的长度.
教师：我们将实际问题转化为数学问题，然后利用正弦定理求解出相应的边长，所以我们实际上利用了正弦定理解出了三角形中的相关问题.
2.再看定理、加深印象
（1）正弦定理形式简洁、结构一致，体现着数学之美.
（2）三角形中的三条边和三个角称为三角形的元素.
（3）已知三角形的若干元素，求其他元素的过程叫解三角形.
（三）问题解决、巩固新知
1.问题导学
（1）我们至少需要知道几个条件，才能求出三角形中的其他元素？
（2）正弦定理适合解决哪类三角形问题？
2.问题呈现
在如图2-16所示的△ABC中，根据以下条件解三角形.
①A=60°，B=45°；(https://www.daowen.com)
②A=60°，B=45°；AB=8；
③A=60°，AB=8，BC=
分析①：已知A和B可以求得C=75°，但是求不出三条边，所以知道两角的大小，无法解出三角形.同样地，如果仅知道两边或一角及一边，也无法解出三角形.
图2-16
分析②：易知C=75°，由
可知：
所以，已知两个角一条边，可以解出三角形.
4.从实例出发，让学生感受正弦定理在解三角形问题中的作用.
5.和学生们再度审视正弦定理，体会正弦定理的美感，并且感知利用正弦定理可以解决的问题.
6.学生通过这三道题目的探究，得出问题导学的答案，为课中小结做好准备.
分析③：由
可 得
，解得C=45°或135°.
因为60°+135°＞180°，所以C=45°，所以B=75°.
又
，所以AC=4+4 3.
所以，已知两边和其中一边的对角，可以解出三角形.
3.课中小结（由学生小结，得出结论）
（1）至少需要知道三个条件才能解出三角形.
（2）利用正弦定理解三角形，需要知道：两角一边或者两边及其中一边的对角.
（四）继续探究、深化新知
教师：利用全等三角形的知识，解释为什么已知三角形的两边及其中一边的对角，解出的三角形可能有不同的解.
1.问题探究
已知三角形的两边及其中一边的对角，那么在解三角形时，何时有一解、二解、无解呢？
2.问题呈现
在如图2-17所示的△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，根据以下条件判断三角形的个数.
图2-17
分析①：由
可得
，解得B=30°或150°（舍）.
由
可得
.此时三角形有一解.
分析②：由
可得
，解得B=60°或120°.
当B=60°时
当B=120°时，C=15°，
.此时三角形有两解.
分析③：由 可得
（舍）.此时三角形无解.
3.问题深化
结合上述三小题，大家能推导出一般情况吗？
图2-18
如图2-18所示，当A为锐角时：
①当a=bsinA或a≥b时，三角形有一解；
②当bsinA＜a＜b时，三角形有两解；
③当a＜bsinA时，三角形无解.
如图2-19所示，当A为钝角时：
①当a＞b时，三角形有一解；
②当a≤b时，三角形无解.
图2-19
（五）复习小结、巩固训练
1.由教师或学生根据本节课所学内容进行适当小结.
2.作业布置：练习册P25/1，3，4；P27/10，11；P28/4.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
本节课为上教版高中数学一年级第二学期第五章《解斜三角形》中“正弦定理”的第一课时.本节课的主要内容是引入、证明正弦定理，并且学会利用正弦定理解三角形，在课型上属于“定理教学课”.本节课通过对正弦定理的引入、证明、应用和探究，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生研究性学习的能力.
（二）学情分析
高一年级学生在初中时主要学习的是解直角三角形，拥有一定的平面几何基础，也具备了一定的观察、分析和解决问题的能力.但是解斜三角形对于学生们而言，确实是比较陌生的领域，学生往往会在对新知识的理解应用以及与已学知识的联系上出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约.根据以上特点，教师设计以数学实验的方法引入，更加直观地感受正弦定理，从直角三角形入手证明正弦定理，进而推广到一般三角形，用学生们熟悉的方法，引导学生直接参与分析问题、解决问题.
7.本部分内容将视课堂具体情况而调整.如果时间来不及，则作为思考题留在课后完成.
（三）教法与学法分析
本节课在引入时选用了“探究—发现”的教学模式，这是基于本节课的知识内容，可以依托数学实验让学生观察归纳从而得出结论.因此本节课在教学活动的设计中，应注意学生归纳能力的培养.对于正弦定理的教学，教师注重层次感，设计的过程是定理引出—回归实际—再看定理—熟练应用—探究深化.学生们经常会作高求解三角形中的相关问题，正弦定理其实简化了作高的过程，所以要让学生能够接受新的知识，选择逐层递进，螺旋式地强化知识，使学生能更好地掌握本节课的教学重点.在学习利用正弦定理解三角形至少需要知道几个条件，它们分别是什么时，所选例题由浅入深，根据学生的认知规律，结合初中所学的相似和全等的概念，和学生一起分析，最终使学生顺利地得出结论，水到渠成地攻克教学重难点.
七、板书设计
正弦定理（第一课时）
一、定理
a sinA =b
sinB =c
sinC
注：利用正弦定理解三角形，至少需要知道三个条件：
①两角一边；
②两边和其中一边的对角.
二、判断三角形解的个数
分析①：……
分析②：……
分析③：……
八、课堂反思
本节课是“正弦定理”的第一课时，从设计数学实验出发，通过学生的探究活动，引导学生归纳结论，从而引入并证明正弦定理，既让学生掌握新的有用的知识，又可以有效提高学生解决问题的能力.
反思本节课，完成了教学任务，与学生互动也很充分.但是，对学生思维的展开和引导层面还有所缺失，课堂中的提问可以再斟酌，在以后的课堂教学中，教师对问题有效性的设置有待进一步完善.
在课程内容的设置方面，引入、定理概念和简单运用用时较长，三角形解的情况是本节课难点之一，在教学中略显仓促，受时间限制，没有让学生充分思考，这需要教师在今后的课堂教学中合理分配时间.
九、专家点评
本节课是“正弦定理”的第一课时，属于概念课.在引入阶段，从已有的知识出发，通过数学实验师生共同观察三角形中随着边、角的改变，三角形的边和其对角的正弦值之比不变，从而猜测结论.再从已有的知识出发，进行证明，符合逐次递进的思想，增强了学生的数学思考能力.
在新课例阶段，通过教师的引导与学生的发现，得到正弦定理后，阐述正弦定理简单运算，然后回归教材感受正弦定理的实际应用，之后深化提高强调三角形解的个数的问题.整节课的流程可以归纳为：数学实验—得出定理—解释定理—回归课本运用定理—深化提高掌握定理，呈螺旋式层层递进，符合学生的思维习惯和学习过程.
可以看出教师有钻研，条理脉络清晰，对重点的把握和难点的突破处理得流畅.师生互动好、教师有激情，充分调动了学生学习的积极性.