二次曲线和圆锥曲线
一、教材分析
本课取材于高级中学课本《数学》（高二年级第二学期）第十二章“圆锥曲线探究与实践课题三：做一个有趣的实验”和“本章小结：几何轨迹、二次曲线和圆锥曲线”.
作为本章节最后的点题之笔，从斜截圆锥角度使四种圆锥曲线达到某种统一.然而由于立体几何知识储备不够，学生在严格证明方面比较困难.如何把握这种统一理解对圆锥曲线的问题解决方面的启示和引导学生理解在不同圆锥曲线上问题的相似性与统一性是一个很大的考验.
作为探究与实践课，本节课的定位是“知道”.因而数学严密性要求较高，但不刻意强调落实.更多的是让学生了解方法，为感兴趣的同学在今后进一步研究提供建议.
二、学情分析
授课班级是年级中的特色班级，思维比较活跃，数学素养也比较好，能够抽象地思考问题.故而对于尚未学习的立体几何知识以课后附录的形式让学生自己研习.
对于斜面截圆锥问题，同学们也有相当的兴趣，并且对论证所得曲线是否确实符合解析几何中的定义有一定的渴望，因而在这样的拓展课中会有所收获.
三、教学目标
通过平面截圆锥的研究，知道可以把圆、椭圆、抛物线与双曲线视作一个统一体中的四类既有统一又有区别的对象.
尝试用这种统一的认识体会不同二次曲线中问题的相似性.
四、教学重点和难点
平面截圆锥得到的图形是各种二次曲线.
五、教学过程
（一）研究下面的几个二次曲线问题
1.已知过圆C1：x2+y2=r2内一点A（x0，0）（0＜x0＜r）作直线l交圆于M、N两点，过点M作圆C1的切线l1，过点N作圆C1的切线l2，记l1与l2的交点为P，求点P的轨迹.
2.已知过椭圆
内一点A（x0，0）（0＜x0＜a）作直线l交椭圆于M、N两点，过点M作椭圆C2的切线l1，过点N作椭圆C2的切线l2，记l1与l2的交点为P，求点P的轨迹.
3.已知过双曲线
内一点A（x0，0）（a＜x0）作直线l交双曲线于M、N两点，过点M作双曲线C3的切线l1，过点N作双曲线C3的切线l2，记l1与l2的交点为P，求点P的轨迹.
4.已知过抛物线C4：y2=4x内一点A（x0，0）（a＜x0）作直线l交抛物线于M、N两点，过点M作抛物线C4的切线l1，过点N作抛物线C4的切线l2，记l1与l2的交点为P，求点P的轨迹.
上述四个问题具有明显的相似性.其中前两题我们课上讲解过，第3题是我们本次期中考试的问题，第4题请同学们课后探究.
（二）圆锥与圆锥曲线
1.一个有趣的实验（课本P70探究与实践课题三）：从手电筒打出的光束是呈圆锥形的，当光束打到墙面上时，光斑的边缘就形成了一条圆锥曲线.
2.圆锥被不过圆锥顶点的平面M1、M2、M3、M4所截，得到的截线分别是圆、椭圆、抛物线与双曲线.（课本P71本章小结中“几何轨迹、二次曲线和圆锥曲线”）
图4-6中截得的曲线是椭圆.
在截面两侧各放置一个与截面、圆锥都相切的球.两个球与截面的切点分别记作F1、F2，两个球与圆锥面的公共部分都是球小圆.
在截面与圆锥面的交线Γ上任取一点P，与圆锥顶点V的连线VP分别交两个球小圆于P1、P2.根据切线长相等，可知F1P=P1P，F2P=P2P，所以F1P+F2P=P1P+P2P=P1P2；根据切线长相等，得P1P2=VP2-VP1对任意的P均为定值，所以交线Γ为椭圆.
说明：
1.这四个问题中两个在课上讲过，一个是考试题，最后一个是类比得到的思考题.四个题目明显具有某种共性，提出问题，引发学生的思考.
2.通过传统课堂实验，将手电筒中的光打在墙面上引入课题.
3.类比平面几何结论得出立体几何中从空间一点出发到球的切线长相等.
图4-6
仿照上述过程可证明截线是双曲线的情形（学生课后思考）.
如果截面与母线平行，不妨与AV平行，那么截得的曲线是抛物线.
同样作球与圆锥和截面都相切，设与截面的切点为F，与圆锥的切点构成球小圆，将球小圆所在的平面延长，与截面的交线设为l，如图4-7所示.
图4-7(https://www.daowen.com)
在截线上任取点P，连接VP，交球小圆于点P1，根据切线长相等知，PP1=PF.
作PP0∥VA交l于点P0，所以PP0与PP1与球小圆所在的平面所成角相等，所以PP0=PP1，所以PP0=PF.
因为母线VA与截面平行，所以l⊥VA.所以PP0⊥l.
即得点P到定点F与到定直线l的距离相等，所以截线为抛物线.
（三）圆、椭圆、抛物线与双曲线是一个统一体中的四类对象
可以证明，二次曲线都可以从同一个圆锥截得，因而，二次曲线的问题应该具有相似性，研究与解决也应该具有某种统一性.
以之前的1，2两个解析几何问题为例.
可以用图4-8中的圆锥模型，明显看出，由于圆中问题点P的轨迹是直线，那么椭圆中问题点P的轨迹是该直线与圆锥顶点V所确定的平面与截面的交线.
图4-8
（四）立体几何结论（附录）
本节课涉及部分的立体几何结论.
1.将Rt△ABC（及其内部）绕其一条直角边（如AC）所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥.
AB所在的直线叫作圆锥的轴，点A叫作圆锥的顶点，直角边BC旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，斜边AC旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，斜边AC叫作圆锥侧面的一条母线.
圆锥有无数条母线；所有母线相交于圆锥的顶点；每条母线与轴的夹角都相等.
2.将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫作球.
3.（1）两个平面有一个公共点，必有一条过公共点的交线.
（2）从同一点出发的两条直线，如果与同一个球都相切，则切线长相等.
（3）从点A出发的两条直线都与一个平面分别相交于B、C两点，如果直线AB、AC与底面所成角相同，那么AB=AC.
4.回到原来的问题，通过圆与椭圆所在的截面上的直线与点的关系说明原先的共性确实有其原因.
这种共性还可以用压缩映像得到，在考试中已有体现，由学生课后思考.
5.由于立体几何是后面才学习的内容，这里先将涉及的结论先行列出，直接使用.
六、教学设计说明
本节课内容是课本介绍内容，同时也解释了为什么本章名为“圆锥曲线”.
设计分为三个板块，首先给出四种不同的圆锥曲线中的问题，通过问题的相似性提出四种圆锥曲线是否有着某种特别的联系的疑问.接着推荐学生翻阅课本第71页：四种曲线都是一个圆锥被不同的平面所截得到的截线.引起学生兴趣以后，通过立体几何知识和曲线定义证明这个命题.最后回到原先的四个解析几何问题，通过构造圆锥模型解释问题相似性的缘由.
面临的困难有两个：一个是内容既难且多，一节课完成难度颇大；二是学生尚未学习立体几何，要用学生能够理解的知识妥善处理好证明过程.因而本节课的定位介于介绍与严密论证之间：对于较难的截圆锥问题和证明的思考过程不做探究，直接给出；而对于证明过程中的细节问题，和学生互动完成；对于立体几何的知识，通过与平面几何类比得出，不做太多纠缠.
七、课后反思
本节课设计的起因是在课堂例题、课后作业、单元测验等较多场合出现相类似的问题，解决完椭圆，又出现了双曲线、抛物线问题.有些问题之间的联系还相当紧密，可以通过类比直接解决；有些问题之间还是有点差别，只是意境上很相似.联系课本中的探究与实践，就设计了本节课.因而首先想到的是从解析几何问题引入，通过立体几何统一问题，再用立体几何解释问题间的相同与不同.
在上课过程中，由于学生的立体几何知识不完整，在很多立体几何公理定理的使用上和立体几何空间想象上占用了较多的时间.所以在立体几何教学基本结束后再进行本节课的教学，效果会更好.
本节课的取材还是得到了很多数学老师的肯定.课堂中所用的手电筒教具，以及用几何画板演示也都得到了认可.像这种与高考的直接关系不那么紧密的课其实也是很多教师想尝试的，只是由于课时等原因没有开展.我觉得有时候确实应该给出一些课堂时间让学生去思考一些问题，而不要仅仅盯着考试纲要，本节课就是一个尝试.
八、专家点评
本节课取材于课本的探究与实践，对学生来讲是一个颇有兴趣的话题.
一开始用手电筒照黑板，得到圆锥曲线.很简单，也有很好的教学意义.其本质是一束光形成的圆锥被黑板平面所截，在黑板上的光斑就是截面上的曲线.只是研究的时候是“平面不动，圆锥动”.研究中困难比较大，后来就用几何画板转为“圆锥不动，平面动”的问题.
虽然学生没有学过立体几何，但在杨老师的引导下，学生还是能非常清晰地理解了平面截圆锥所得的曲线是椭圆问题.对于布置的课后作业，研究平面截圆锥所得的曲线是双曲线的问题学生应该也能够完成.后面又讲了平面截圆锥的抛物线的证明，这个就比较难了，杨老师通过很好的设计，把这个问题也讲清楚了，让来听课的老师收获不小.
之前的引入问题：几种不同的圆锥曲线中的相似问题，在最后也呼应用截圆锥思想去统一，但因此整节课容量就偏大了，虽然时间控制得不错，但是感觉如果将这两者去掉，专门讲平面截圆锥问题，有些地方展开可以更充分些，效果将会更好.
总之，这是一节相当不错的课，我在下面听课也学到了不少.