用平面向量分解定理探究一类几何问题
一、教学目标
（一）知识与技能
1.通过探究在A、B、P三点共线时，分解式
中x与y所满足的关系式，加深学生对向量分解定理的理解.
2.培养用向量解决数学问题的认识.
3.本节课的几个探究，其本质是一个命题的四种形式.旨在引导学生勤思考、善提问，培养思维的逻辑性、缜密性.
（二）过程与方法
作为拓展课，采用问题驱动学生探究，引导学生自主探究与合作交流相结合的教学方式.
（三）情感、态度与价值观
通过探究引导学生经历观察发现、类比归纳、抽象概括等一系列的学习活动，体验从简单到复杂、从特殊到一般的研究过程，感悟分类讨论、归纳、转化、数形结合等数学思想方法，培养学生进行自主探究的能力以及合作交流的意识.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
1.向量表示三点共线的充要条件的证明.
2.应用向量解决数学问题的意识.
（二）教学难点
1.三点共线的充要条件的证明.
2.由于本节课要得到的结论较抽象，对向量知识储备较少的学生来说，本节课整体有难度.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，合作探究.
（二）辅助教学手段
运用几何画板制作多媒体课件，借助现代信息技术手段，形象直观地再现了向量分解过程中的一般情形和特殊情况.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）复习提问、温故知新
教师：前两节课，我们学习了向量的线性运算以及向量的分解定理，我们先回顾两个问题.
1.向量共线定理以及三点M、N、P共线的一个充要条件：两个非零向量
与
平行的充要条件是存在唯一的λ，使得
.由此，我们知道：三点M、N、P共线的一个充要条件为存在唯一非零的实数λ，使
，其中
2.平面向量的分解定理
如果
是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量
，有且只有一对实数λ1、λ2，使
我们把不平行的向量
叫作这一平面内所有向量的一组基.
注意：（1）基向量不共线；（2）任一向量
可按这个平面内的两个不平行向量进行分解；（3）基向量给定，分解式唯一，即λ1、λ2是被
唯一确定的数.
教师：在此基础上，开始今天的探究：
如图3-4所示，设O是直线AB外任意一点，得到一组不平行的向量
.我们选择这组不平行的两个向量
为基，根据平面向量分解定理，对于同一平面内任意一点P，都存在唯一的x、y使得
那么这样表示出来后，x、y之间有什么关系吗？这就是本节课要探究的问题.
说明：
1.本节课是拓展课，有一定思维量，有必要先复习相关知识作为铺垫.适当的问题也能让学生将注意力转移到课堂上来.学生回答，教师完善并板书.
首先，根据点与直线的位置关系，我们把问题分为两大类：
①点P在直线AB上（三点共线）；
②点P不在直线AB上（三点不共线）.
图3-4
（二）设问激疑、问题探究
教师：我们先探究点P在直线AB上时，有什么结论.
探究1：设O是直线AB外任意一点.若P是直线AB上任意一点，则有且只有一对实数x、y，使
其中x与y满足的关系式是什么？
教师：对于这样一个比较抽象的具有一般性的问题，若一时没方向，无从下手.一般常采取由“特殊到一般”的方法进行研究.
第一步：特例1，先取点P在线段AB的
处，用向量表示
（或者
以不共线的向量
为基，求向量
的分解式.
学生1：几何方法，当P在线段AB的
处，由平行四边形性质易得
，得x+y=1.
如图3-5所示，当P在线段AB的
处，根据分解系数的几何意义，可以由相似比例关系，得
，得x+y=1.
学生2：向量法，由向量的三角形法则，得
图3-5
2.探究1，直接给出要探究的一般性的结论而不是特例，目的是培养学生研究问题的常用思路：遇到抽象的问题，不要畏难，可以先分解、化繁为简，化抽象为具体，从特例入手，感悟由特殊到一般的研究方法.
3.探究过程：特例入手—猜想结论—直观感知（画板演示）—归纳概括结论—推理证明.
第二步：特例2，取点P在线段AB内，用向量表示
，类似上述可得x=1-k，y=k，得x+y=1.
第三步：观察、归纳.综上所述，我们猜想：若点P为直线AB上任意一点，都有x+y=1成立.
第四步：直观感知，几何画板演示.让点P分别在线段AB上，线段AB的延长线上以及线段AB的反向延长线上运动，画板显示，x与y在改变，x+y的数值始终不变，等于1.
结论：点P在线段AB（不包括端点）上，则0＜x＜1，0＜y＜1，且x+y=1；点P在线段AB的延长线（不包括端点）上，则x＜0，y＞1，且x+y=1；点P在线段AB的反向延长线（不包括端点）上，则x＞1，y＜0，且x+y=1；点P在线段AB的端点，x，y一个为1，另一个为0，x+y=1.
第五步：严密地推理证明，得出结论.
教师：怎么证明？
（如学生用平面几何相似证明，可能疏忽x、y的正负号，教师提示：用平面几何需要分类证明，不方便.若学生直接用向量法证明，在证明完成后，教师问一句：用平面几何能证吗？哪个方法更方便？）
证明：因为点P是直线AB上任意一点，所以
又
解得x=1-k，y=k，所以x+y=1.
由此，我们得到下述命题：
原命题：对于平面内四个点A、B、O、P，设点O是直线AB外一点.若点P在直线AB上，则有一对实数x、y，使
且x+y=1.
（三）探究逆命题
教师：反之，有什么结论？即原命题的逆命题成立吗？为什么？
（逆命题可以由学生表述，教师板书探究2）
探究2：设O是直线AB外一点，若点P满足
且x+y=1（x、y∈R），则点P在直线AB上.
教师：欲证P、A、B三点共线，需证什么？即我们努力的方向是什么？
学生：
（三向量任意两个满足都可）.
4.让学生体会用平面几何解决问题的局限性，凸显向量法的优越性和学习向量的必要性，培养学生应用向量解决数学问题的意识.用平面几何方法证明，不需完整写出，只口述过程即可，让感兴趣的同学课后研究.
5.探究2是探究1的逆命题，由学生叙述，培养学生的数学表达能力.在探究如何证明时，教师设置子问题启发，让学生有思考方向.
教师：由已知
怎么得到
与
的关系？(https://www.daowen.com)
学生：先消y，然后在OP间插入点A或B.
证明：由
，得
移项得
教师：也可以在
间插入_点O，再利用已知可得，
教师：探究1得到三点共线的必要条件，探究2得到三点共线的充分条件，综合上述，得出三点共线的又一个充要条件：对于平面内四个点A、B、O、P，设O是直线AB外一点，则A、B、P三点共线的充要条件是存在一对实数x、y使
且x+y=1.
（四）探究否命题、逆否命题及其拓展
1.否命题、逆否命题
教师：通过探究，我们得到了点P在直线AB上的一个充要条件，下面我们进一步探索：如图3-6所示，当P不在直线AB上时，则使得
的实数x、y又有怎样的关系呢？
学生：由等价命题知，上述命题的否命题、逆否命题也为真，即
图3-6
若点P不在直线AB上，则使得
的实数x、y满足x+y≠1；反之，也为真.
2.深化探究、揭示内涵
教师：由上述命题x+y≠1，自然想到，点P在平面内什么位置时有x+y＞1？ 点P在何处时有x+y＜1呢？
探究3：设O是直线AB外任意一点，若点P不在直线AB上，对于满足
的实数x、y，探究：点P在平面内什么位置时，分别有x+y＞1；0＜x+y＜1；x+y＜0.
教师可以提醒“要解决这个一般性的问题，下面我们还是先从探究特例入手”.先让学生互相议议.教师巡视查看，有学生得出结论，再用几何画板演示，直观感知，验证大家的猜想.
6.继续探究否命题，培养学生思维的缜密性.
7.画板演示探究3，写出结论，若时间不够，证明作为课后思考，根据课堂具体情况再定.
教师：如何证明呢？
这里证明比较难，需要教师先分析启发：回顾我们前面得到了什么结论？前面我们已得到A、B、P1三点共线的充要条件是存在一对实数x、y使
且x+y=1.那么，不共线三点问题转化为共线三点的向量问题呢？
学生：先取P在点O与直线AB之间，如图3-7所示，设直线OP交直线AB于点P1，向量关系为
且λ1≠1.由探究1知，存在实数x1、y1使
且x1+y1=1，得OP=
所以x=λx1且y=λy1，则x+y=λ1x1+λ1y1=λ1（x1+y1）=λ1.
图3-7
教师：由此可知，不管点P在什么位置，x+y的范围取决于
中的λ1的取值（其中P1为直线OP与直线AB的交点）.
学生：根据数与向量的乘法，知λ1的范围，从而得到如下结论：
当点P在直线AB上方的区域Ⅰ时，x+y＞1；当点P在直线AB与直线OM（OM//AB）所夹的区域Ⅱ时，0＜x+y＜1；当点P在直线OM下方的区域Ⅲ时，x+y＜0.
（五）课堂小结
1.本节解决了什么问题？
2.本节课的探究，我们用了哪些数学方法？你有哪些收获？
（本节课我们对平面向量的分解定理中的x、y的关系进行了探究，经历了从特殊到一般的研究过程，运用了“分类讨论、归纳、化归、数形结合”等数学思想，得到一个很重要的结论，关于这个结论的应用，我们以后继续探讨.）
（六）课后练习、巩固新知
练习1：如图3-8所示，若
，则
练习2：如图3-9所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且
，求当
时，y的取值范围.
8.由于这里要探究的结论较抽象，对接触向量较少的学生有难度.从“化未知为已知”的角度引导学生，体会“转化”的数学思想，真正达到探索创新，提高数学思维能力的目的.
9.本部分内容将视课堂具体情况而调整.如果时间来不及，则作为思考问题留在课后完成.
图3-8
图3-9
练习3：已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1，若
则cos∠BAC=___________.
练习4：如图3-10所示，△ABC是边长为4的等边三角形，延长CB作平行四边形BEDA，BE=2.当点F在线段DE（包括端点）上移动时，若
求
的最小值.
图3-10
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
向量知识，具有几何形式和代数形式的双重身份，能融数、形于一体，既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，成为中学数学知识的一个交汇点.而平面向量分解定理是平面向量坐标表示的基础，是搭建向量的几何运算和代数运算的桥梁，有利于沟通几何与代数之间的联系，为解决和处理中学数学中的问题，增添了新的方法.近年，以向量的相关知识为载体，以数形结合的思想为主线，在知识网络处设计创新力度较大、综合性较强的试题，也是高考的热点之一，而这一知识点也是学生的薄弱环节，增加本节拓展课，探究平面向量与平面几何的交汇与融合，旨在使同学们形成向量与平面几何结合的意识，体会向量是一种处理问题的有力工具，感受其运用的方法.
（二）学情分析
1.在此节课之前，学生有了向量及其线性运算的概念，并且对于向量加法的平行四边形法则都有较好的认识，为本节课做好了知识铺垫，但如何用向量表示几何关系仍存在困难.
2.学生虽然学过向量共线的条件和平面向量分解定理，但现阶段对向量的认识还不够深刻，自主应用向量解决数学问题的意识还没有树立起来.
3.学生只是初步知道平面内任意向量可用一对基表示，并不理解分解系数的意义及其关系，有必要深入探究、挖掘它的应用价值，帮助学生更好地理解分解定理.
（三）教法与学法分析
对探究过程的设计，常用下列两种模式.
模式一：从学生思维的“最近发展区”出发，即从简单的问题开始，采用顺向分析的方式，设计一系列渐进式的问题，驱动学生思维逐步深入，向目标靠近.
模式二：采用“先明确要达到的中心目标——再分析用什么手段”的分析方式，将探究目标分解为若干子问题或子问题链，驱动学生思维.
采用什么方式设置问题，应该视学生的情况而定.本课采用模式二，目的让学生感悟数学研究常用的“化繁为简、化抽象为具体”，把一个大问题分解成几个小问题，从特例入手的研究方法；感悟由“一般到特殊、再由特殊到一般”的研究方法.
对于难点突破，本节课的几个探究，其本质是一个命题的四种形式.由于要得到的结论较抽象，证明的技巧性较强，对接触向量较少的学生来说有难度.因此先用多媒体课件，直观展示向量分解过程中，分解系数的变化，再进行推理证明，让学生在观察—归纳—验证—应用的学习过程中，参与知识的发生、发展和形成的过程.一、复习
七、板书设计
用平面向量分解定理探究一类几何问题
1.向量共线定理
两个非零向量
与
平行的充要条件是“存在唯一的λ，使得
2.平面向量分解定理
如果
是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量
，有且只有一对实数λ1、λ2，使
二、探究1：设O是直线AB外任意一点.若P是直线AB上任意一点，则有且只有一对实数x、y，使
其中x与y满足的关系式是什么？
探究2：设O是直线AB外一点，若点P满足
且x+y=1（x、y∈R），则点P在直线AB上.
探究3：否（逆否）命题及拓展.
三、典型例题
四、课堂小结
八、课堂反思
本节课有一定思维量.在上完平面向量分解定理及其例3后，布置教材P110第7题和一些用向量表示几何关系的练习，让学生能较熟练地用向量表示几何关系，为本节课顺利开展探究活动作准备.
数学教学中，要注重启发和训练学生的探究能力已是共识，一个好的探究性素材，不仅能帮助学生理解这类问题所涉及的知识与数学思想方法，还能引起学生深入研究的兴趣，激发学生的学习潜能.然而，不是所有的问题都适合进行探究活动的，这就需要教师做有心人，多了解学生，钻研教材，注意挖掘教材中有探究价值的素材，引导学生将问题拓展、延伸.长此以往，学生的数学思维能力会得到提升.本节课所创设的探究问题情境是一道课本例题的延伸，根据以往的教学经验，也查阅了一些资料，我觉得有必要深入探究、挖掘分解定理的意义及应用价值.
探究过程的设计，引导学生从某些熟知的向量知识出发，通过问题的步步深入，形成“命题链”，启发学生对命题进行一般化、特殊化或逆向思维，从命题的角度或解法的角度进行探究.引导学生进行猜测——提出新问题，探索——提出新思路，证明——发现新结论.目的是通过比较、鉴别，进行分析、综合、抽象、概括，从而能理解事物的本质和内在规律，培养学生“研究性学习”的能力，从课堂反应看，基本达到了预期目标.
从学生角度看，本节课的难度较高，特别是数学基础较弱的同学，明显跟不上进程.在探究1，采用几何法、向量法的比较，目的让学生体会用以前的平面几何解决问题的局限性，凸显向量法的优越性，培养学生应用向量解决数学问题的意识.但是在后续的探究中，相当一部分同学仍然首选几何法，说明对向量思想还不理解.整体感觉，这样的探究课对一部分数学基础好的学生会很有启发，作为教师，怎么让每个同学都参与课堂活动，的确是门很深的学问.
九、专家点评
基于课标要求，教材中向量例题比较简单，学生的认知也多数停留在知道、了解的程度，“运用”的能力比较弱，而另一方面向量又是很多知识、方法的交汇点，因此，挖掘有探究价值的教学素材，在教材例题的基础上作更深入的探究，这一点对于学生理解和把握平面向量基本定理的相关内容是非常必要的.
这节课是一节研究性学习的探究课，从教学设计讲，在学生已有的认知基础上设计，关注学生的认知过程，通过设问激疑和多媒体演示，引导、激发学生参与课堂探究活动的兴趣，遵循了教师为主导，学生为主体设计理念，注重渗透的数学思想方法.教学中，教师精心设计一连串的“问题链”，启发学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，“问题”贯穿于探究过程的始终，切实体现了问题驱动的教学特色，师生配合较默契，过程流畅.对探究问题层层剖析，由浅入深，水到渠成得出结论，较顺利地完成了预定的教学目标.