向量的数量积（第一课时）
上海市少云中学 张 谊
一、设计说明
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中具有易理解和易操作的特点.
对于平面向量的数量积的学习来说，要让学生从生活实例或是其他已有知识来认识平面向量的数量积，更重要的是让学生从数与形两个方面来理解平面向量的数量积的意义，通过思考，运用数形结合、一般到特殊的数学思想方法来掌握数量积的本质，并不是机械地记忆公式、死套公式和法则，做到了“知其然”，还“知其所以然”.经过与原有知识的结合，同化数量积的概念，提高逻辑推理能力.
二、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生了解向量的数量积的抽象根源.
2.使学生理解向量的数量积的概念：两个非零向量的夹角、定义、本质以及几何意义.
3.使学生了解向量的数量积的运算律.
4.掌握向量的数量积的主要变化式.
（二）过程与方法
1.从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念.
2.给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来.
3.由数量积的定义式，变化出一些特例.
（三）情感、态度与价值观
激发学习数学的兴趣.鼓励学生自己探索，有意识地灌输学生的一些基本的数学思想方法.
三、教学重点
平面向量数量积的概念.
四、教学难点
平面向量数量积的运算律.
五、教学设计
（一）创设问题情境，引出新知
情境1：我们学习了向量的哪些运算？这些运算结果是什么？
设计意图：让学生回忆上一课时所学过的运算，得到这些运算的结果依旧是向量.
情境2：一个物体在力
作用下发生了位移
，那么该力对物体做的功是多少？W=
设计意图：从物理学科中引用功的概念，得到力与位移的大小及其夹角余弦的乘积是一个数量，从而出现了向量的一种新的运算，这种运算的结果是数而不是向量，从学生已有的知识引入，易于学生接受.
（二）新知引入
1.向量的夹角（预备知识）
对于两个非零向量
与
，如果以O为起点，作
，那么射线OA、OB的夹角θ叫作向量
与向量
的夹角，θ的取值范围是0≤θ≤π.
特别地，当θ=0时，表示向量
与向量
方向相同；当θ=π时，表示向量
与向量
方向相反.
强调：要使学生明确把向量的始点或终点重合是求向量夹角的前提，并理解向量夹角的范围.
2.
与
的数量积（内积的定义）
3.平面向量数量积符合的运算律
设计意图：和实数的运算律作对比，让学生直观地发现两者之间的相同和不同之处，尤其说明数量积不满足交换律的原因.
例题解析：（1）讨论是否对任意向量
，都有
（2）讨论是否对任意向量
，都有
设计意图：更进一步理解运算律的应用.
4.
的几何意义
5.向量
在向量
的方向上的投影
(1)0≤θ＜90°；(2)θ=90°；(3)90°＜θ≤180°.
向量
在向量
方向上的投影的表达式为______________________.
特别地：当
与
同向时
=______________________；
当
与
反向时
=_____________________.
设计意图：这里就是希望学生能对向量的数量积从几何的角度有一定的认识，对“一个向量在另一个向量上的投影”这一解释，学生的理解需要一个过程，可以借助功的概念，再次强化.(https://www.daowen.com)
强调
.
6.
___________.
设计意图：可以让学生讨论得出结论，并有完整的、充要性的证明.
例题解析：已知
，当
与
的夹角为60°时，分别求
的值.
设计意图：强化学生对数量积的应用能力.
（三）新知强化
围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的知识：垂直的判断、夹角的计算和线段长度的计算，所以可用题目来对当堂知识进行强化.
1.直接运算
已知
的夹角为60°，求：
(1)
（2）向量
在向量
的方向上的投影.
2.夹角问题
（1）
，求
与
的夹角；
（2）
的夹角为120°，求
（3）
且
与
垂直，求实数k的值.
（四）新知反馈（小组合作）
1.四边形ABCD中，
，则四边形ABCD是___________形.
2.
的夹角为60°，则
=___________.
3.
的夹角为45°，求使得
与
的夹角为锐角的k的取值范围.
（五）课堂小结（小组展示）
学生自己总结出本节课的知识点，可以帮助学生消化本节课，并能培养学生归纳总结的能力、数学语言表达能力和自我整理的学习习惯.
1.本节课主要学习了向量的数量积及其几何意义.
2.类比功，得到了向量的重要性质.
3.类比实数运算律，得到了向量数量积的运算律，并发现向量数量积与实数运算律的区别.
六、课后巩固
1.平面两向量夹角的范围为________；
与
的夹角为θ，
叫作
在向量
的方向上的________，它是一个________（填“向量”或“标量”）.
2.
的夹角为120°，则
3.向量
在向量
的方向上的投影为
，则
=_________.
4.
是
的_________条件.
5.下列式子中，正确的是_________.
6.
的夹角为135°，求
7.
，求
与
的夹角.
六、课后反思
平面向量不仅与解析几何、三角函数联系紧密，而且在物理等学科中应用也十分广泛.
1.教师应该如何准确地提出问题
本课时从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念，使学生领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践，以及反映在数学中的辩证关系，同时也适当降低了学生理解和掌握平面向量数量积这一概念的难度.
在教学中，我提出问题“对于平面向量的数量积的定义的认识，你认为应注意哪些问题？”这个问题问得不够具体，学生不知道该如何回答.其实这个问题，我也曾考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，能力有待加强.
2.教师如何把握“收”与“放”的问题
何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题.在教学中，学生小组间的讨论，教师还是参与过多，没敢放手太多.对于运算律的探究，还应注重主次之分，不必面面俱到.
在教学过程中，我设计了即时练习和巩固练习两部分内容，即时练习是为了配合新知，教师带着学生一起思考完成，而巩固练习是通过小组合作讨论，让学生对当堂新知有一个及时的反馈巩固，进一步强调本课时的重点.
3.教师要点拨到位
在学生出现问题后，教师要及时点评并加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质.
本节课的教学难点是通过分析平面向量数量积的定义后，还要体会它的几何意义，从而使学生从代数和几何两方面对数量积的“质变”特征有充分的认识和理解.数量积的运算律是通过和实数运算律相类比得到的，但还是需要有严谨的证明过程，使学生意识到数学的严密性.
七、专家点评
向量的数量积是向量章节中的一个重难点内容，数形关系结合紧密，理解应用的要求高，与解析几何、三角函数联系紧密，是高中阶段学习的难点之一.本课在设计方面教师从物理中的做功出发，引出了平面向量数量积的概念，遵循了教材的逻辑，让学生便于理解.教学过程中，教师课堂节奏把握较好，课堂气氛活跃，学生积极参与，学习效率较高.