正弦定理（第一课时）
上海市同济中学 顾琳婕
一、教学目标
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索、发现，归纳概括出正弦定理，并理解正弦定理的推导过程.
2.会初步应用正弦定理解决两类三角形问题.
3.在发现及推导正弦定理的过程中，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，培养学生观察、分析、归纳、概括等能力.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
正弦定理的发现、证明及初步应用.
（二）教学难点
正弦定理的证明及解的情况的讨论.
三、教学设计
本节课首先通过一个实例，让学生知道初中阶段所学的锐角三角比只能解决直角三角形问题，但是实际生活中有很多有关斜三角形的问题，所以我们的知识面需要拓宽.而引例和例2是一个先提出，一个在给出定理后求解，相互呼应给出了正弦定理的两个重要应用类型，即两角一边和两边一对角的问题.而例2的变式深入剖析了两边一对角问题可能出现的一解和两解情况的产生原因，及在应用题中的取舍，在应用的同时不断巩固.同时，通过这两个实例在多媒体中的生动展示，让学生产生学习数学的兴趣和动力.
本节课的重点是正弦定理的归纳—猜想—证明过程.
通过对直角三角形锐角比这一已知知识的探索，得到了：
在直角三角形中，
（即a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC）.
然后通过等边三角形和顶角为120°的等腰三角形这两个例子，让学生猜测锐角和钝角三角形中该等式依然成立.接下来通过多媒体演示，学生发现任意三角形中，不论边和角如何变化，等式依旧成立，这样就完成了从特殊到一般的猜想和归纳过程.
本节课对正弦定理的证明一共出现了三种方法，首先三角法是对前面问题的回答，将一个斜三角形问题转化为直角三角形来解决，用已有的知识推导出新的知识，数学就是这样不断发展的.接着引出了向量法，让学生体验到一种新的思路.最后是坐标法，这个方法将引出面积公式，所以也称为面积法.它不用坐标表示也能证明，但是要分成锐角和钝角两种情况讨论.
本节课主要完成正弦定理的证明、面积公式引入、正弦定理的应用三个教学目标，在正弦定理第二课时可以对两边一对角问题进行深入探讨.
四、教学过程
（一）创设情境
今天，我们来学习正弦定理.首先，让我们看一个例子.
引例：如图2-1所示，一架搜救飞机沿水平方向在海上向位置C的受困渔船飞行，在位置A处测得渔船的俯角为30°，向前飞行了10 000米，到达位置B时测得渔船的俯角为75°，通过这三个条件，是否已能计算出此时飞机与渔船的距离？
图2-1
上述问题是一个解斜三角形的问题.
我们在初中已经能够借助锐角三角比解决有关直角三角形的一些测量问题，但是在实际生活中会遇到许多其他的测量问题，所以我们必须扩大知识面，进行更深入的探索.
（二）新课引入
1.背景实例
例1 如图2-2所示，让我们回想一下，在Rt△ABC中，已知∠C是直角，BC=a，AC=b，AB=c.
提问1：能用其他的边角表示斜边c吗？
学生：由锐角的三角比的定义可得
和
由此不难得到
，即
图2-2
而我们在高中学过sinC=1，因而有
提问2：上述结论从形式上看非常对称，体现了数学的一种独特的美，但是它只是在△ABC为直角三角形的前提下提出的.如果△ABC不是直角三角形，上述结论是否依然成立呢？
2.实例探究
我们可以先看一些非直角三角形的例子.
（1）如图2-3所示，在正△ABC中，a=b=c，∠A=∠B=∠C=60°，这时应有
（锐角）
（2）如图2-4所示，顶角为120°的等腰三角形.（钝角）（3）任意三角形.
图2-3
图2-4
猜想：对于任意△ABC，都有
成立.
3.证明
（1）三角法
让我们借助直角三角形中的锐角三角比的定义来证明.
①如果△ABC为锐角三角形，如图2-5所示，设边BC上的高是AD.
在Rt△ABD中，AD=csinB；在Rt△ADC中，AD=bsinC.所以csinB=bsinC，即
图2-5
同理可证
， 从而在锐角三角形△ABC中，总有
②如果△ABC为钝角三角形（不妨设B＞90°），过点A作AD⊥BC，垂足D在CB延长线上，如图2-6所示.
在Rt△ABD中，AD=csin（π-B）=csinB；在Rt△ADC中，AD=bsinC.
所以csinB=bsinC，即
图2-6
同理可证
， 从而在钝角三角形△ABC中，总有
综上所述，在任意△ABC中
（板书）
（2）向量法
我们发现，也可以用三个向量来构成△ABC，则有
若过B作单位向量
垂直
.在等式两边同取与向量
的数量积，得到
所以
①如果△ABC为锐角三角形，如图2-7所示，
与
的夹角为90°-B，
与
的夹角为90°-C.
所以
(https://www.daowen.com)
图2-7
所以bsinC=csinB，所以
同理可证
， 故有
②如果△ABC为钝角三角形（不妨设∠B＞90°），如图2-8所示，则
与
的夹角为B-90°
与
的夹角为90°-C.
所以
图2-8
所以bsinC=csinB，所以
同理可证
故有
综上所述，在任意△ABC中，
我们把高二的向量内容提前到高一来学，就是为了证明今天这道题.
（3）坐标法
如图2-9所示，建立直角坐标系，B（0，0），C（a，0），A（ccosB，csinB）.
同理：
图2-9
上述式子同除以
，取倒数，得
上述方法又称为面积法，因此我们得到了三角形面积的另一种求法，即
面积法也可以不借助坐标直接证明，有兴趣的同学可以在课后进行研究.
4.归纳概括
请学生归纳概括：
正弦定理——在一个三角形中，各边和它所对的正弦比相等.
即在△ABC中，
（三）应用举例
正弦定理的每一个等式中都有同一三角形中的四个元素，由此可知，只要已知三个量便可求第四个量.
让我们完成引例.
解：由题意知，在△ABC中，|AB|=10 000，A=30°，∠ABC=105°，C=45°.
由正弦定理，得
所以
答：这时飞机与渔船的距离为
米.
已知两角一边（唯一解）.
例2 如图2-10所示，鱼雷快艇A发现位于正北方向的敌舰B以每分钟6海里的速度朝东北方向驶去，已知鱼雷的速度是每分钟23海里，为击中敌舰，求鱼雷发射的角度.
解：设t分钟后鱼雷击中敌舰.
由题意知，在△ABC中，
由正弦定理，得
所以
，A=30°或150°（舍）.
图2-10
答：鱼雷发射的角度为北偏西30°.
是否只要给出两边一对角就一定能组成一个三角形？如果能是否只有唯一的一个？
变式：在△ABC中，a=6，b=2，B=45°，求A.
解：由正弦定理，得
所以
，A=60°或A=120°.
已知两边一对角（多种情况）.
（四）巩固练习
课本P69（2，3）（精确到0.01）.
（五）小结
1.用各种方法证明正弦定理——在△ABC中，
2.三角形面积公式——
3.正弦定理可以解决的问题：
（1）已知两角一边（唯一解），（2）已知两边一对角（多种情况）.
（六）作业
练习册P24（4）（选做）.
1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（边长精确到1厘米，角度精确到1°）.
（1）A=34°，B=57°，c=68厘米（答案：a≈38厘米，b=57厘米，C=89°）
（2）c=54厘米，b=39厘米，C=115°（答案：a≈24厘米，A≈24°，B≈41°）
2.在△ABC中，
试用正弦定理证明：△ABC是等边三角形.（提示：利用已知和正弦定理，可得tanA=tanB=tanC）
五、教学反思
本节课的重点和难点是正弦定理的三种证明方法.在实际上课过程中，学生可能没有建立直角坐标系就得到了面积公式，遇到这种情况时就可以简略介绍坐标表示.
三角法和向量法都由教师给出关键的证明过程，然后引导学生完成证明.这两种方法都要用到分类讨论的数学思想，在钝角三角形的证明中应该给学生更多的时间思考，独立完成证明.
本节课内容紧凑，学生如果要理解透彻必须熟练掌握锐角三角比、诱导公式、向量夹角、向量数量积等知识，对学生的知识面要求很高，如果有时间可以先对这些知识点进行预习，会取得更好的效果.
六、专家点评
顾老师的这节课重点突出，节奏紧凑，语言严谨生动，取得了很好的教学效果.这堂课因材施教，在本校高一年级学生提前完成向量学习的基础上，挑战了概念教学的难点，利用三种方法对正弦定理进行了证明，这种设想大胆而具有实践价值.而对于本届学生学习能力比较薄弱这个特点，在整个教学的设计和课堂的互动中，充分调动了学生的积极性，循循善诱，提问层层递进，让学生能够通过老师的引导有意识地得到相应的证明方法，整个过程酣畅淋漓、一蹴而就，让我们回味无穷.