等比数列的前n项和（第一课时）
上海市行知中学 吴艳军
一、教学目标
（一）知识与技能
1.引导学生发现等比数列前n项和，体会等比数列前n项和的证明方法.
2.等比数列的前n项和公式灵活应用.
3.当q=1或q≠1时，等比数列公式的选择.
（二）过程与方法
1.经历数学探究活动的过程，体会数学的简约、严谨之美.
2.实践由具体到一般的归纳论证过程.
（三）情感、态度与价值观
1.通过等比数列前n项和的证明方法，培养学生的探索精神和创新意识.
2.以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
1.等比数列的前n项和的证明方法.
2.知道n、Sn、q的任意两个值求得第三个变量的值.
3.能将实际问题转化为数学问题，并利用等比数列前n项解决问题.
（二）教学难点
1.发现并证明等比数列的前n项和.
2.知道n、Sn、q的任意两个值求得第三个变量的值.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心、问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）数学探究、引入新知
教师：上课前，先给同学们讲一个关于印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事.相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止.”国王立即答应了.
问国王将会给发明者多少粒麦粒？
说明：以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用.
1.建立数学模型
求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？
学生：实际是计算1+2+22+…+263（=S64）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和.
2.求解数学模型
观察上式的特点，启发学生找到解决问题的方法.
方法与等差数列类比.
在推导等差数列的前n项和时，充分利用了公差，即a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…，an=a1+（n-1）d；另外又可以写为an-1=an-d，an-2=an-2d，…，a1=an-（n-1）d，这才有了逆序相加法.
那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？
（学生自主探究，可以相互交流）
类比：每一项乘以2后都得到它的后一项.
S64=1+2+4+8+…+263，2S64=2+4+8+…+264.
上述两式右边有62项相同，相减，得S64=264-1.
据查每千克小麦约10万粒，S64约1.84×1011吨.2004年世界粮食总产量为2.25×109
吨，因此S64相当于2004年世界粮食总产量的82倍.
课堂说明：解决问题的关键是意识到1+2+4+…+263的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和.
3.反思抽象
以上解决了一个特殊等比数列前几项的求和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决.
说明：问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力.
一般地，设等比数列{an}的公比为q，则
Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.
4.解决问题
从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试.
说明：板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为q即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系.(https://www.daowen.com)
①-②，得Sn-qSn=a1-a1qn，即（1-q）Sn=a1（1-qn）.
当q≠1时，
当q=1时，a1=a2=…=an，则Sn=na1.
这个过程完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程.
（二）概念分析
（1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法，要勤思考.
（2）上述“解决问题”中的方法称为错位相减法.这是一种重要的解题方法，不仅仅在解决数列问题时有重要应用，而且在类似问题（如：函数）中也将发挥它的作用.我们既重视公式的应用，也要重视公式的推导方法.（重结论也重过程）
（3）使用等比数列的前n项和公式，必须注意公比是否等于1，q=1与q≠1的公式形式是不一样的.
（4）当q≠1时，求和公式将根据已知条件有不同的选择.
（5）求和公式中有5个量a1、q、n、an、Sn，结合等比数列的通项公式，
分析得到：若已知其中的3个量，则可以求得其他的2个量，即所谓的“知三求二”.
（三）变式训练，知识强化
例1 求等比数列
的前8项和.
解：
练习1：求等比数列1，2，4…从第5项到第10项的和.
解：
练习2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：
答：一天时间可以传给224-1人.
练习3：在等比数列中，a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q与n.
解：∵a1+an=66，a2an-1=128，∴a1an=128.
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2.
又Sn=126.
解得
例2 求和：
解：
变式1求和：
解：需要分类讨论.
当y≠0，y≠1时，
当y=1时，Sn=n.
变式2求和：
提示：采用分组法求和，需要对x、y进行分类讨论，类似于变式1.
说明：采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式—变式运用公式—研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式，让全体学生都参与教学，培养学生的参与意识和竞争意识.
（四）课堂小结
先由学生进行小结，再由教师进行小结.本节课从一个实例出发，探索了等比数列的前n项和公式.错位相减法是我们的重要收获.不仅要重视探索得到的结论，更应重视探究的过程，重视思维方法（还有两种推导方法）.应用求和公式时一定要首先判断等比数列的公比是否等于1，再选择公式.本节课渗透的数学思想方法有方程思想、等价转化.
课后思考：推导等比数列前n项和的公式还有其他方法吗？
六、作业布置
1.必做：练习册7.3节A组：10，11，12.
选做：思考题1.求和：x+2x2+3x3+…+nxn；
2.远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
七、教学建议与说明
1.根据学生认知心理特点，采用从特殊到一般的方式推进教学.
2.具体实例是浅层次要求，使学生有概括印象，从而推广到一般情形.让学生自己推广，提出问题，培养学生思维能力.
3.重点是公式的推导，这是培养学生思维深刻性、灵活性、严密性的良好素材，要充分利用这一时机.
4.公式推导中，以启发性强的设问层层推进，让学生尝试探索，提供学生自主学习的时间和空间，创设宽松的、开放式的环境，可以小组讨论等，点燃学生思维火花，培养学生的创新意识和胆量.
八、教学反思
现实课堂教学中必然会有教师备课中预想不到的问题出现，恰如其分地处理能反映教师的机智，更表现了尊重学生、以学生发展为本的理念.比如，在求解S64=1+2+4+…+263时，有学生注意到了数字的特殊性，灵活解决，如1+S64=1+1+2+4+…+263=2+2+4+…+262=…=4+4+8+…+263=…=264，则S64=264-1.简单明了.若将公比2改为3，则该方法就不能发挥作用，真正体现了具体问题具体分析，解决特殊性的方法不见得适用于一般性.抓住时机进一步理解特殊与一般的关系.由等比数列的定义，运用比例的性质探索求和的方法学生不容易想到，需要教师启发引导，“回到定义去！”并及时进行数学文化渗透：这是两千多年前欧几里得的《几何原本》中提到的方法.解决问题的方法多样化，但都紧紧围绕等比数列的定义，所谓“一题多解，多解归一”，强调解决问题的突破点和实质，并强调错位相减法的重要性：在解决特殊数列求和中的价值体现.
九、专家点评
本课是等比数列前n项和第一课时，在引入阶段，从已有的知识出发，通过类比等差数列前n项和的推导过程得出等比数列前n项和公式，符合逐次递进的思想，增强了学生的数学思考能力.
例题设置难易得当，讲解深入浅出，呈螺旋式层层递进，符合学生的思维习惯和学习过程，并且对公式的应用条件进行分类讨论，加深对数学概念，以及解题严谨性的理解.
可以看出教师的讲解脉络清晰，详略得当，对重点的把握和难点的突破处理得流畅.师生互动好、教师有激情，学生积极性调动得较充分，课堂氛围和谐.