向量的应用（第一课时）
上海市行知中学 宋园园
一、教学目标
（一）知识与技能
2.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何中的相关问题以及简单的物理问题.
3.引导学生自主探究向量在其他知识领域，如不等式、三角函数中的应用.
4.渗透数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.
（二）过程与方法
1.经历数学探究活动的过程，体会数学的简约、严谨之美.
2.实践由具体到一般的数学实现过程.
（三）情感、态度与价值观
1.通过正弦定理的推导和证明，培养学生的探索精神和创新意识.
2.以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
1.引导学生自觉使用向量解决实际问题.
2.初步掌握应用向量解决平面几何问题和物理问题的基本方法.
3.通过用向量解决问题的过程，体会向量是一种处理问题的有力工具，并且发展学生的运算能力和解决实际问题的能力.
（二）教学难点
数形结合方法的渗透，思维能力的提高.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
在“四动策略”的前提下，师生共同探究讨论，突出“学与导”.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程
五、教学过程
（一）复习与回顾
教师：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？
学生：（逐一作答）
说明：教师可引导学生多写一些两个向量平行、垂直的表达形式.
（二）学习新课
教师：向量的应用非常广泛，下面看向量应用之一：在平面几何中的应用.
用向量解决平面几何问题的“三部曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直等问题.
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
【研一题】
例1 如图3-1所示，在△ABC中，已知CH⊥AB，BH⊥AC，求证：AH⊥BC.
说明：两种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高解题能力.
图3-1
两式相加，得
即
解法二：以点B为坐标原点，BC方向为x轴正方向，垂直于BC方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则B（0，0）.设C（c，0），A（m，n），H（p，q）.
两式相减，得mc-pc=0.
【悟一法】
教师：利用向量证明几何问题有两种途径，请同学们总结.
学生：（1）基向量法：通常先选取一组合适的基，然后将问题中出现的向量用基表示，再利用向量的运算研究几何关系，最后把运算结果还原为几何关系.
（2）坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化.
【通一类】
练习1：如图3-2所示，P、Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用向量证明：PQ∥AB.
练习2：求证：平行四边形两条对角线平方和等于四边平方和.（课后）
教师：下面再看向量的应用之二：向量在物理中的应用.
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(https://www.daowen.com)
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
（3）动量是向量的数乘运算，功是力与位移的数量积.
【研一题】
图3-2
例2 在水流速度为
千米/时的河水中，一艘船以12千米/时的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船航行速度的大小和方向.
解：如图3-3所示，设
为水流速度
为船垂直于对岸行驶速度，以
为一边
为一对角线作平行四边形ABCD，则
为船的航行速度.
图3-3
答：船的航行速度为8 3千米/时，方向与水流夹角为120°.
【悟一法】
教师：请同学们总结向量在解决物理问题时的基本方法.
学生：（1）向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.
（2）在用向量方法解决物理问题时，应作出相应图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路.
（3）在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
【通一类】
练习3：三个力
同时作用于O点且处于平衡状态，已知f→1与f→3的夹角为120°，又
，则
=___________.
（三）向量应用的拓展（开放性思考，共同探索）
教师：向量融数形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，那么除上述在平面几何和物理学中的基本应用外，你能说说向量作为工具还可以解决哪些方面的问题吗？
学生：（自由回答，教师做补充完善）
教师：向量应用之三：向量与不等式的交汇（课本中例3）.
例3 已知x1、x2、y1、y2∈R，求证：
，当且仅当x1y2=x2y1时等号成立.
证明：设
即
，当且仅当x1y2=x2y1时等号成立.
教师：向量应用之四：向量与三角函数的交汇（课本中例4）.
例4 求证：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.
证明：设
与x轴的夹角分别为α、β.
则
即
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.
（四）课堂小结
1.向量在平面几何中的应用
（1）建立平面几何与向量的联系.
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.
（3）问题的解答，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
（五）作业布置
练习册.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本节课是向量的综合应用，结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题以及平面向量在物理学中的应用并探索向量在其他知识方面的应用.如何结合向量知识去解决有关问题，是本节课的难点.突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题.
（二）学情分析
学生的逻辑思维在高二上学期的时候比在高一的时候更为严密，相对来说处理数学问题也比较成熟.向量的应用恰好是一个很合适的知识点，能够充分发挥学生的思维，方法比较灵活，处理手段既可以用几何法也可以用基向量法，能充分发挥学生思维积极性.
（三）教法与学法分析
本节课相对来说难度偏高一点，对学生要求较高，采用较为活泼的授课方式：讨论交流.鼓励学生采用多种方法解题，总体来说学生的综合能力得到了很大的训练和提高.
七、板书设计
向量的应用（第一课时）
一、向量平行垂直的条件
二、向量基本方法
三、例题讲解
四、学生展示
八、课堂反思
本节课的知识内容比较多，复习回顾所占用的时间不是十分合理，另外在总结方法的时候过于仓促，向量在物理中的应用还涉及物理概念，有一些物理名词的解释可能不够精准.内容的难度相对来说偏大，题目的选择可能还需要更加细致一点.
九、专家点评
向量知识在中学教学中有着非常重要的地位和教育价值，它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，如复数、三角函数、解析几何等，甚至可以延伸至学科外.本节课主要通过探究向量在平面几何和物理学中的应用，让学生体会数形结合、类比化归、构建模型等重要数学思想，进一步拓宽学生研究和解决数学问题的思想通道，也为激发和培养学生的探索精神和创造意识提供更广泛的途径.同时通过本节课引导学生去探索向量在其他方面的应用，走一条“由浅入深、类比深化”的道路，从基础导向综合.整体来说，教师在处理的时候还是游刃有余，语言概括也很精练，确实是一节好课，值得研究.