球面距离
上海市杨浦高级中学 方耀华
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解球面上两点间距离的定义，拓宽有关“距离”概念的认知.
2.掌握地球上同经度不同纬度的两地间球面距离的求解；掌握地球上同纬度不同经度两地间的球面距离的求解.
（二）过程与方法
渗透类比、猜想的思想，让学生在课堂上自主观察、实验、分析、归纳总结，培养学生数学动手实验能力、合情推理能力、空间想象能力、实际应用能力以及分析问题与解决问题的能力.
（三）情感、态度与价值观
发挥学习小组讨论的作用，让学生之间互相磋商、交流和互补，促进数学学习，提高学习的积极性，培养团结、务实的学习风气，学生之间、师生之间交流融洽.
二、教学重点与难点
（一）教学重点
球面距离定义的正确理解.
（二）教学难点
球面距离定义的正确理解和地球上同纬度不同经度球面距离的求解.
三、教学方法与教学手段
（一）教学方法
以学生为中心，问题为驱动，引导探究，启发式教学.
（二）辅助教学手段
多媒体辅助教学.
四、教学流程设计
五、教学过程
（一）实例引入，形成冲突
我们所居住的上海在靠近北纬30°、东经120°的A点，美国的洛杉矶在靠近北纬30°、西经120°的B点.下面就请同学们为上海航空公司设计一条从上海直接飞往美国洛杉矶的航线.
学生：沿着北纬30°的纬度圈航行，方向为向东航行.
教师：你为什么会选择这条航线？
学生：因为感觉上这样飞过去最近.
教师：为飞机选择航线的主要标准是什么？
飞行不像陆地、海洋上那样行进，一般不需要绕行.航程（距离）尽可能短.这样既省时间又省油费，高效又环保.
（对这位同学的回答表示认可的同学请举手示意）
事实上，早在2006年上海航空公司就已经开通了上海到洛杉矶直达的货运航线，但是该航线并非是“沿着北纬30°的纬度圈航行”，而是在整个飞行过程中会路过美国阿拉斯加州的阿留申群岛，再到洛杉矶.
对于这一现象我们该作何解释？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？
从上海飞往洛杉矶的货机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈的航线并不是最短的.
这个值得研究的问题如果将其数学化，我们可以将地球近似地认为是一个球体，那这个问题的本质就是球面上两点间的最短路线是什么.
说明：
1.通过实例引入，引起学生思考，激发学生学习兴趣，通过探究引出球面距离的概念.
（二）动手实验，探索新知
教师：为了了解上海到洛杉矶的最短路线，我们不妨来做个实验.我选择的实验工具是地球仪和橡皮筋.原本想在课堂上做这个实验的，但是怕同学们看不清楚，因此我特地将该实验拍摄下来，播放给同学们看.
实验语录：我们看到上海在靠近北纬30°、东经120°的位置，这是北纬30°的纬线，美国的洛杉矶在靠近北纬30°、西经120°的位置.
我将橡皮筋的一头固定在地球仪上海的位置，然后将橡皮筋沿北纬30°的纬线圈至洛杉矶.接着我将橡皮筋收紧，但是在收紧的过程中仍然保证该橡皮筋所在的曲线经过洛杉矶.由于橡皮筋的弹性作用，它会静止于尽可能短的状态.这个经验告诉我们，从上海到洛杉矶，沿该绷紧的橡皮筋所在的这条曲线航行的行程最短.我们发现该曲线的确经过美国阿拉斯加州的阿留申群岛，而阿留申群岛的纬度已经超过北纬45°.上海航空公司选择的的确是最短的航线.
教师：为了研究球面上两点间的最短路线到底是什么，我们继续观察，这绷紧的橡皮筋所在的曲线应该是一条什么曲线呢？
学生：从绷紧的橡皮筋的状态来看，显然它是一条平面曲线.（经验告诉我们歪歪扭扭不可能最短）
教师：而球若被一个平面所截，截得的曲线是什么呢？
学生：一个圆.
教师：球面上过A、B两点的圆有多少个？
学生：过两点有无数平面，因此截得球面上无数个圆.
教师：我们要研究A、B两点在球面上的最短路线，这最短路线应该就是出自这些圆在A、B两点间的劣弧长，究竟哪个圆在A、B间的劣弧长度最短呢？
（请学生大胆猜测，过A、B两点的小圆无数个，大圆只有一个）
教师：圆与圆的不同主要在于其半径不等，那么这些圆弧的半径与其在A、B两点间的劣弧长又有什么关系呢？
（教师通过几何画板演示）
过A、B的所有圆中，半径的取值范围应该以线段AB为直径的圆的半径为最小，球的半径为最大.
通过实验不难发现，以线段AB为公共弦的若干圆中，半径较大的圆在A、B两点间的劣弧长较小.
2.通过橡皮筋的实验，揭示球面上两点间的最短距离，引发学生的猜想、论证.
3.鼓励学生猜测，学生猜测的结论不谋而合.
4.发挥几何画板的辅助功能，将形的变化通过数据显示，得到明显的结论.
科学需要观察，但观察并不总是可靠的，我们的眼睛有时也会欺骗我们.正如前面的世界地图就欺骗了我们部分同学的眼睛.若要得到该结论是正确的，我们必须对其进行证明.
（三）思辨论证，得出结论
教师：我们可以找到两个圆，一个圆的半径较另一个圆大一些，但它们有一条公共弦AB.我们要证明的是半径较大的圆在A、B间的劣弧长小于半径较小的圆在A、B间的劣弧长.
请同学写下已知求证，并分析如何证明该结论.
如图5-1所示，已知AB是圆O1和圆O2的公共弦，圆O1的半径为R，圆O2的半径为r，且R＞r，求证：
图5-1
图5-2
证明：如图5-2所示，设∠AO1B=2α，∠AO2B=2β，α、β
要证
或证
∵R＞r，则sinα＜sinβ，∴α＜β.
教师：作为这个结论的证明，可以通过三角函数线和不等式的放缩来完成，也可以通过证明函数
在区间
上单调递减来完成.
由于时间关系，它的代数证明留给感兴趣的同学课后研究.
5.学生发现证明推理的关键，产生浓厚的兴趣，课后继续学习.
结论：以线段AB为公共弦（经过A、B）的若干圆中，半径较大的圆在A、B两点间的劣弧长较小.
教师：在球面上，我们现在要找到最短的劣弧，那么经过A、B的若干圆中，哪个圆的半径最大呢？
学生：大圆.
教师：这样也就说明球面上两点间最短的圆弧长就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧长.
（同学们能直观感受到球上两点间最短的圆弧长其实就是球面上两点间最短的路线）
教师：我们给球面上任意两点这一条最短路线的长度取个什么名字呢？
学生：球面上两点间的距离.
（四）形成概念，扩充认知(https://www.daowen.com)
球面上两点间的距离的定义：
在联结球面上两点（两点的连线不经过球心）的路径中，将通过该两点的大圆的劣弧的长度称为这球面上的两点间距离.
教师：在该定义中，球面上的两点能否是球面上的任意两点？
学生：不行.若两点的连线经过球心，则经过该两点的大圆圆弧长正好被这两点平分，那就谈不上大圆在这两点间的劣弧长了.
教师：那么两点的连线经过球心时，这两点间的球面距离如何定义呢？
学生：若两点的连线经过球心时，规定大圆周长的一半为两点的球面距离.既然经过该两点的大圆圆弧长正好被这两点平分，两端弧相等，那么用大圆周长的一半来定义是非常合理的.
教师：经过同学们的探索、研究得到了球面上两点间距离的概念.距离对我们而言并不陌生，请回忆，我们之前还学过哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同特征？
学生：平面上两点间的距离；点到直线的距离；异面直线间的距离；平行直线间的距离；点到平面的距离；平行于平面的直线与平面间的距离；两平行平面间的距离.共同特征：最小性；确定性；表示为一条特殊线段的长.
教师：球面距离的最小性，前面我们已经对其做了说明.而确定性呢？若两点的连线不经过球心，那么过这两点与球心的大圆是唯一确定的，该大圆在这两点间的劣弧长度自然也就确定了.若两点的连线经过球心，虽然过这两点的大圆有无数多个，但是大圆周长的一半还是一个确定的值.
6.从球面距离定义的两种情况进行细致分析，提升学生的思辨能力.
正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而球面距离却是一条特殊的圆弧长.但是它们都是“平面”曲线，具有“最小性”和“确定性”，体现了数学概念的和谐发展.
而我们学习的旋转体有圆柱、圆锥和球，为什么单独研究两点间的球面距离，而不再研究圆柱和圆锥的侧面上两点间的距离呢？
学生：因为圆柱和圆锥的侧面可沿其一条母线剪开，展开后得到的是矩形和扇形，它们都是平面图形，利用平面上两点间线段最短，使问题获解.
教师：而球面能否展成平面图形呢？
（学生摇头）
教师：球面是无法展成平面图形的，这一点与多面体、圆柱和圆锥有本质的不同.世界地图为什么会欺骗大家，就是因为它是失真的.因此，对两点间的球面距离我们要进行特别的研究.
（五）实例应用，总结方法
在了解了球面距离的概念后，下面我们来试着计算球面上两点间的距离.
例1 已知上海的位置约为北纬30°、东经120°，洛杉矶的位置约为北纬30°、西经120°，求这两个城市间的距离.（设地球半径R约为6 371千米，计算结果精确到1千米）
解：如图5-3所示，设上海、洛杉矶在球O面上的点为A、B，
A、B两点所在的纬线圈（小圆）的圆心为O'.
由已知条件，得∠OAO1=∠OBO1=30°，
由余弦定理，得
图5-3
7.从球面距离到空间各类距离的综合回顾，学生更容易抓住距离的共性，把握规律.
可知大圆劣弧
所以两城市之间的距离约为10 806千米.
我们不妨再来算算小圆在A、B两点间的劣弧长，如果按照同学们感觉上的北纬30°的纬度圈走，那么飞机需要飞行多少千米呢？
设小圆O1在A、B两点间的劣弧长为l，则
两条航线足足相差750千米，几乎相当于上海到韩国釜山的距离了.
对球面距离的计算，从经纬度来看，例1属于哪一类的球面距离问题？
1.同纬度不同经度的两地间的距离.
还会有哪些类似的问题呢？
2.同经度不同纬度的两地间的距离.
分析：如图5-4所示，相同经度不同纬度的两点A、B在同一经线上，也就在半个大圆上，图中的劣弧
即为所求距离.若求弧
，只需将圆心角∠AOB求出即可.
而∠AOB=∠AOC-∠BOC，
∠AOC、∠BOC即为A、B两点的纬度.
图5-4
3.不同经度不同纬度的两地间的距离.
解决第1类和第2类问题的关键是什么？
解决问题的关键是求出经过两地的大圆劣弧所对的圆心角.
对于第3类问题，同学们可以试着在课后研究，解决问题的关键还是要求出经过两地的大圆劣弧所对的圆心角.
8.解法不唯一，也可将投影作于赤道平面内分析求解.
9.由于前面对球面距离的最小性进行推理分析，故课堂的时间比较紧张，因此将较为简单的同经度不同维度问题简单地一带而过，节省时间，重点分析同纬度不同经度的问题.
（六）课堂小结
教师：今天我们学习了球面上两点间的距离的定义以及如何计算两点间的球面距离.在学习过程中，我们有哪些体会和收获呢？
1.球面距离的定义
注意：定义中的分类.
2.求球面距离的方法
注意：弧长公式的应用；圆心角的求解.
10.学生总结，提炼本节课的知识与思想方法.
六、教学设计说明
（一）教学内容分析
球面上两点间的距离是立体几何中继“异面直线的距离”“点到平面的距离”“直线到平面的距离”和“平面到平面的距离”之后，又一重要距离.其概念的产生和形成，不但加深学生对球面及球的截面的理解，而且在求解过程中，联系了立体几何中三个重要的角（线面角、二面角和异面直线所成的角）的概念，加深对其理解.
球面上两点间的距离具有十分重要的实际应用，通过对它的学习，学生能认识到数学源于实践又作用于实践；通过对它的学习，可以培养学生学习数学，用好数学的兴趣；通过对它的学习，可以使学生掌握有关地理知识，增强综合素质.
（二）学情分析
本节课的授课对象是上海市示范性高中的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达能力.学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形.
学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义，但由于时间相隔较长，可能已生疏.所以在讲解例题前需运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识结合立体几何中线面角和二面角的概念进行简单回顾，以唤起学生的记忆.
（三）教法与学法分析
本节课是以上海市数学课程标准为依据进行设计的，针对学生的学习背景，球面距离的教学首先是挖掘其实际意义，利用知识之间的联系，温故而知新；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式.
七、板书设计
球面距离
球面上两点间的距离
……
如图5-1所示，已知AB是圆O1和圆O2的公共弦，圆O1的半径为R，圆O2的半径
为r，且R＞r，
求证：
分析：……
例1……
解：……
八、课堂反思
本课时设计的亮点在于引导学生一步一步形成球面距离的概念，首先借用引入的实例，引起学生的认知冲突，然后以问题逐步驱动学生投入球面距离概念的探究中，最终得到球面距离的合理化定义.再对定义进行剖析，发现其中遗漏的一种特殊情况，得到完整的定义.思辨论证这一部分，虽然因为时间关系，没有进行代数方法的证明，但是通过数形结合还是能够较好地说明理由，听课的学生也表示认同.
本课时的设计在形成球面距离的定义教学中，用了许多时间，致使用于学生课堂练习的时间就比较少，对计算球面距离的方法的落实可能会有副作用，因此在课后练习，或者今后的习题课可能需要对计算球面距离方法的落实再花一番功夫.
九、专家点评
教师利用一个生活现象一开始就紧紧抓住了学生的心理，以认知中的冲突激发学生探究新知的动力.教学过程中，逻辑严谨，层层推进，摆事实、讲道理，潜移默化地培养学生数学研究和表达的严密性.教学手段的使用也恰如其分，紧紧围绕教学的需要展开，教师语言精练，简明扼要，课堂中充分行使了教师引导的职责，使学生的主动性得以极大程度的发挥.