一道高考试题的研究——坐标变换对椭圆共轭直径的研究
上海市同济中学 赵海鸣
一、教案设计思考
（一）教材分析
数学探究是高中数学新课程的重要内容.其主要目的是：为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提出概念和得出结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程，形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，提高学生的创新精神和实践能力.教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者，还应成为数学探究课题的创造者，为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料.
本课是利用坐标变换研究椭圆性质的高三复习课，学生在高二阶段经历过解析几何的学习，基本掌握了求解圆锥曲线定值的基本的方法，并在高三学习了参数方程及其应用，对圆锥曲线中的定值问题有了进一步的认识.作为上海市示范性高中的高三学生，不仅要“夯基础”，而且要“活能力”，要成为建构“知识和方法体系”的主动实践者，也要成为“提出问题和解决问题”的探索者.
基于以上分析，我认为：本课应是对高三解析几何定值研究的进一步深化，在体验“问题提出和解决”的探究过程中，渗透“坐标变换”的应用，很自然地将圆中的一些性质通过坐标变换得到椭圆的对应性质，体现“数学双基的继承和发展”的教学理念.
（二）教学亮点
从2015年上海高考试题入手，自然地过渡到改变问题的对象或条件，探索定值问题的变化，复习圆锥曲线定值问题求解的基本方法，引出坐标变换的探究方法；在师生共同讨论中重点完成引例的推广和思考，进一步感受坐标变换在研究椭圆定值问题中的优越性，展示了问题探究的过程和方法.
二、教学目标
（一）知识与技能
复习圆锥曲线中求定值问题的方法；运用坐标变换探索椭圆的性质.
（二）过程与方法
通过对一道高考试题的研究，经历提出问题和解决问题的过程和方法，感受运用坐标变换探索椭圆性质的优越性.
（三）情感态度价值观
在提出问题、解决问题和反思的过程中，改善学习方式，提高思维品质.
三、教学重点和难点
（一）教学重点
从一个高考中的解析几何定值问题出发，探究椭圆共轭直径的性质.
（二）教学难点
运用坐标变换、参数方程研究解析几何中的定值问题.
四、教学过程
（一）环节一：课前预习
（2015年上海数学高考21理科）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S.
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2-x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为
，求面积S的值.
解：（1）由题易知A、C两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况讨论.
①当A、C两点的横坐标有一个为零时，不妨设x1=0，x2≠0不失一般性，此时l1与y轴重合，C到直线l1的距离为|x2|，平行四边形ACBD的面积为S=2|x2y1|；
②如图5-12所示，当A、C两点的横坐标均不为0时，即l1和l2的斜率均存在时，设l1的方程为
，即l1：y1x-x1y=0，点C到l1的距离
，又因为
图5-12
所以
综合①②可得，点C到直线l1的距离为
，平行四边形ACBD的面积为2|x1y2-x2y1|.
（2）解法一：设
由
得
，同理
由（1），
整理，得S=2.
解法二：设
因为l1与l2的斜率之积为
，所以
，化简，得cos（α-β）=0.
由（1）
本题是解析几何中的一个常见的定值问题，这里的l1与l2是运动的直线，A、B、C、D也是四个动点，而它们的面积却是一个定值！同学们是否进一步思考过，这个结论是一个巧合，还是内藏玄机呢？
（二）环节二：拓展延伸
思考1：如果l1与l2的斜率之积为
，那么它的面积还会是一个定值吗？（课件演示）
思考2：l1与l2的斜率之积
是怎么来的呢？它与椭圆的方程有什么联系吗？如果椭圆的方程是
），那么l1与l2的斜率之积应该为多少呢？
我们不妨从圆里面寻找一下线索，我们知道，经过圆心的两条直线交圆所得的内接四边形是一个矩形，显然当该矩形的对角线互相垂直时，其面积会取到最大值.设这两条直线的斜率存在且分别为k1、k2，则当k1·k2=-1时，面积有一个最大值S=2a2.
由于椭圆可以看作是由圆经过坐标变换得到，我们不妨构造一个与椭圆
1（a＞b＞0）等宽的一个圆C：x2+y2=a2，这样椭圆Γ就可以看作是将圆C横坐标不变，纵坐标缩小为原来的
得到的，即圆C：x2+y2=a2在经过
变换后得到椭圆
，所以我们猜测当椭圆中的两条过原点直线
时，其平行四边形面积有最大值
例1 已知椭圆
（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，设l1与l2的斜率之积为
求面积S的值.(https://www.daowen.com)
解：在圆x2+y=a2中，S=2|x1y2-x2y1|=2a2；
设
则在椭圆
中，
（三）环节三：探究新知
其实，解析几何中对于椭圆中这两条特殊的直线早就有了定义，下面让我来给大家做一下介绍：
定义1：经过椭圆中心的弦叫作椭圆的直径.
定义2：（1）若椭圆
的两条直径的斜率之积为
，则称它们是椭圆的一对共轭直径.（2）当一直径所在的直线的斜率为0，另一直径所在的直线的斜率不存在时（即椭圆的长轴和短轴），也把它们称为一对共轭直径.
当然，椭圆的共轭直径还存在其他的一些定义，同学们可以在课后做进一步的研究.
我们刚才所证明的猜想，其实就是椭圆共轭直径的其中一个性质，而它其实还有其他许多性质，我们可以来看一下.
例2 已知椭圆
，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，且满足l1与l2的斜率之积为
，设A（x1，y1），C（x2，y2），证明：
(1)|OA|2+|OC|2=a2+b2；
（2）设M是椭圆
（a＞b＞0）上的一动点，且
，则λ2+μ2=1.
证明：（1）通过对圆C：x2+y2=a2的分析，显然可以得到|OA|2+|OC|2=a2+a2，即
.设
则在椭圆
中，
因为在圆C中，OA⊥OB，则x2=-y1，y2=x1，所以
（2）由于圆C：x2+y2=a2中的M、A、B与椭圆
（a＞b＞0）中的M'、A'、C'的横坐标是对应相同的，所以圆C：x2+y2=a2中的
与椭圆
（a＞b＞0）中
的λ'与μ'是相同的，所以我们可以研究圆C：
x2+y2=a2中λ2+μ2的值.由于M、A、B是圆C：x2+y2=a2上的三点，且
，所以
，化简，得λ2+μ2=1.因此在椭圆
0）中，λ2+μ2=1.
五、课堂小结
1.椭圆的性质，许多可以借助圆的性质，再利用坐标变换进行研究；
2.数学中的许多问题，都有着丰富的知识背景，我们在学习时应该大胆猜想，勇于探索，细心求证.
六、课后作业
1.在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（-1，0）的距离与P到定直线x=-4的距离之比为
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于
，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由.
2.若A、B是椭圆C：
（a＞b＞0）的一对共轭直径的两个端点，且
（λ、μ是非零常数），求证：动点M的轨迹是
七、教学反思
（一）关于“双基”教学与“创新”教育的整合
作为高三复习课，既要加强基础，又要提高能力和发展智力.因此，要多指导学生开展探究性学习，这就要求教师多为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料.本课从一道高考中的椭圆定值问题出发，以之为基础作为创新的起步点.然后，以改变对象或条件，研究椭圆内接平行四边形面积的最大值，通过学生相互讨论，探究解决，达到运用和拓展基础知识的目的，学生的思维发散度高，以之为基础作为创新的加速点.以圆的性质作为线索，坐标变换作为工具，体现基础知识的变通和组合，以之为基础作为创新的飞跃点.课堂上适度开展探究性学习，启发引导学生发现问题、探究问题，课堂呈现出学生思维活跃，学生的个人价值得到了体现，能较好地培养学生能力全面发展的教学目标，教学设计所设想的教学进程和教学效果已基本达到.
（二）椭圆是圆的压缩变换
虽然在教材中，没有坐标变换的明确定义，但是作为研究解析几何的一个重要工具，坐标变换的思想是不容忽略的.所以本节课将坐标变换作为一种工具，将圆与椭圆结合起来进行探究.
（三）几点改进
坐标变换作为研究椭圆性质的一个工具，将圆与椭圆进行结合是一种极富创新的数学思维，如果可以在高二学习椭圆时，就让学生拥有这样的数学思维，到了高三也可以更加从容地研究椭圆相关性质.在高三复习后期提出这样的数学思想还是晚了点，希望可以在今后的教学工作中加以改进.
在例2的处理上，还可以更加严谨一些，先要说明圆与椭圆对应点之间的关系，然后再研究λ2+μ2的定值问题更为恰当.
八、专家点评
本节课是平面解析几何经典内容的创新探究教学.赵老师主要围绕问题展开讲解，启发引导学生理解知识的形成过程，探究解决问题的方法，突出数学思想方法的渗透.在过程中注意新旧知识之间、知识与经验之间的练习.在操作上，注重椭圆定值问题等基础的落实，提供学生可以模仿的基本解题程序.语言风趣，善于活跃课堂气氛，激励学生挑战难度.坐标变换的运用，利用椭圆是由圆压缩变换得到的这一规律，提高学生数形结合、类比化归的能力.学生在课堂上的活动是多元的：观察、猜测、计算、推理、验证等都是学习数学的主要方式.
在例2第2问的处理上，赵老师处理得还不够成熟，故建议换一种证明方式：
证明：因为l1与l2的斜率之积为
，所以
令
则x'2+y'2=a2.
由
由
如图5-13所示，
得
平方相加，得a2=（λ2+μ2）a2，所以λ2+μ2=1.
图5-13