3.4.2 磨损刀具的铣削力模型
3.4.2.1 磨损状态下的铣削力模型
在铣削过程中，前刀面上剪切作用引起的剪切作用力和后刀面磨损引起的摩擦力、挤压力共同作用于刀具，形成铣削力。在这里将后刀面磨损引起的摩擦力和挤压力统称为摩擦效应力。根据已有的铣削力模型，剪切作用力与材料的未变形切屑厚度有关，而后刀面磨损对其影响则不考虑。摩擦效应力是由后刀面与加工形成表面之间摩擦和挤压产生的，因此摩擦效应力与刀具后刀面磨损量有关，而与材料未变形切屑厚度无关。刀齿微元的铣削力分析如图3.4所示。
图3.4 刀齿微元铣削力分析
1.剪切作用力模型
将刀具沿刀轴方向离散为刀齿微元。铣刀的第j个齿在刀具转角为φ、高度为z的微元上的剪切作用力可以表示为［2］
式中：dFj，t（cφ（jz））、dFj，r（cφ（jz））、dFj，a（cφ（jz））分别为刀具所受的切向、径向和轴向剪切作用力；Ktc、Krc、Kac分别为切向、径向和轴向剪切力系数；h（φ（jz））为刀齿在φ（jz）角度的未变形切屑厚度；φ（jz）为高度z上轴向微元的第j个齿的旋转角。微元剪切作用力可以变换到OXYZ坐标系中。
2.摩擦效应力模型
根据Teitenberg的理论［3］，后刀面磨损对轴向铣削力的影响可以忽略，因此在摩擦效应力模型中只考虑OXY平面内的力。刀具轴向微元受到的摩擦力、挤压力可以表示为刀具后刀面磨损量VB的函数，即
式中：dFtw和dFrw分别为单个刀齿在微元dz上的切向摩擦力和法向挤压力；Ftw（VB）和Frw（VB）分别为单位刀刃长度上的摩擦力和挤压力，两者都与刀具后刀面磨损量VB相关。
3.4.2.2 摩擦效应力的分布规律
单位刀刃长度上的摩擦力、挤压力可以表示为
式中：τ（x）和σ（x）分别为后刀面上与刀刃距离为x处的切应力和正应力。
如图3.5所示，根据Lapsley［4］和Waldorf［5］的研究，磨损的后刀面与工件材料的接触区域分为塑性流动区和弹性接触区。在塑性流动区，切应力与正应力均为恒定值τ0、σ0。在弹性接触区，应力按照二次型规律分布［6］。
图3.5 后刀面磨损及应力分布
当0＜x＜VBp时，接触区域处于塑性流动区，其应力分布为
当VBp＜x＜VB时，接触区域处于弹性接触区，其应力分布为
式中：x为后刀面上某处距刀刃的距离。
根据Smithey的研究［7］，当磨损达到一定量之后，弹性接触区的宽度保持不变，塑性流动区的宽度随着磨损量的增大而增大，即
式中：VB*为弹性接触区的固定宽度。
将式（3.17）至式（3.19）代入式（3.16）中，积分得到单位刀刃长度上的摩擦力、挤压力。
当VB＜VB*时，有
当VB≥VB*时，有
3.4.2.3 磨损铣刀的平均铣削力
1.磨损铣刀的合力
刀具整体受到的合力为剪切作用力和摩擦效应力的和，即
在刀具轴向切深范围［zj，1（φj），zj，2（φj）］内对各个刀齿微元所受的力进行积分，即可得到每个刀齿所受的剪切作用力和摩擦效应力：
式中：kβ=tanβ/R为刀具几何系数，β为铣刀螺旋角，R为铣刀半径。
从而，铣刀刀齿所受的合力为
2.磨损铣刀的平均铣削力
由于后刀面磨损对轴向铣削力的影响较小［1］，因此分别对X、Y方向的铣削力取平均值，其表达式为
平均剪切作用力的表达式为
平均摩擦效应力的表达式为
式中：N为铣刀齿数。
将磨损刀具铣削力模型中铣削力的计算表达式代入式（3.27）和式（3.28）中得到计算结果。整个铣刀的平均铣削力与单个刀齿的平均铣削力相等，可将整个铣刀的平均铣削力写成每齿进给量fz的线性函数形式，即式（3.5）。
平均摩擦效应力的几何影响矩阵受刀具参数、铣削啮合形式、工艺参数等的影响，其表达式为
铣削力的刀具磨损影响矩阵受刀具磨损状态、工件材料与刀具涂层等的影响，可以表示为
