附录3　模型分析

模型

假定武器储备的贬值率为（1-λ），可将国家X目前的武器储备价值估算为：

S_x（t）=X（t）+λ X（t-1）+λ² X（t-2）+…

其中0＜λ＜1

X（t）=国家X在t年度的战略武器开销

S_x（t）=在时间t期间的战略武器储备

这一序列可以简写为：

S_x（t）=X（t）+λ X（t-1）

运用这一公式来计算武器储备，可以参考同时包含内部资源和外部资源的影响的一般模型：

（A1.0）Y（t）=γ+α S_y（t-1）+β S_x（t-1）+ε（t）

（我们在检验模型[1.0]中针对具体国家应用了这个等式。）该模型的这种形式不能直接进行估算。可以通过减法转化为：

λ Y（t-1）=λ γ+λ α S_y（t-2）+λ β S_x（t-2）+λ ε（t-1）

得出：

（A1.1）Y（t）=γ（1-λ）+（α+λ）Y（t-1）+β X（t-1）+μ（t）

其中μ（t）=ε（t）-λ ε（t-1）

（我们在检验模型[2.0]和[2.1]中针对具体国家应用了这个等式。）要注意，从经验中看，无法将这一模型与模型（A2.0）Y（t）=γ+β S_x（t-1）+ε（t）进行区分，而后者也不能直接估算。

减去λ Y（t-1）=λ γ+λ β S_x（t-2）+λ ε（t-1）

可得：

（A2.1）Y（t）=γ（1-λ）+λ Y（t-1）+β X（t-1）+μ（t）

其中μ（t）=ε（t）-λ ε（t-1）

从这一步开始，如果默认λ=1且申诉参数γ是一个趋势参数，就可以推导出理查森公式：

再次减去：

得到：

（A3.1）Y（t）=γ+（1+α）Y（t-1）+β X（t-1）+ε（t）-ε（t-1）

这就是理查森方程的原型。

可以用美国和苏联内部估计值（α^∗）之间的差异来衡量两国内部压力水平的差异，即δ α=（α₁+λ）-（α₂+λ）。假如二者间有显著差异，就可以证明具体列出内部压力α的模型Al.0是正确的。倘若两种估计值是相同的，我们就可以在两种同样有道理的解释之间作出选择。有些人会主张，贬值是唯一有效的为提升战略武器投资而施加压力的内部力量。另一些人则可以更欣赏模型A1.0，因为它在理论上更具吸引力，并主张在贬值之外，两个国家面临的内部压力（α）是相同的，而贬值率（λ）抵消了两种因素的作用。考虑到我们得到的结果，我们认为模型A1.0更具说服力，我们相信仅仅列出外部因素是不够的。

残差分析

通过分析残差，我们得到了表A3.1显示的自相关性。

这里不适合使用德宾—沃森检验，因为模型包括了作为解释变量的因变量的滞后值。然而另一个德宾检验（见Rao and Miller,Applied Econometrics,pp.123—126）得出下列检验数据（与标准的正常百分位数相比）：

德宾检验h　1.716　1.618　-1.400　0.746

其中仅第一个数据（勉强可以）在0.05的层次上具有显著性。然而，由于从1952—1954年以及1965年并未得出美国的极端值，检验不具有显著性。因此，在存在自相关干扰项的情况下，估算系数的算法，例如广义最小二乘法、科克伦—奥克特（CO）估计法等似乎是没有必要的。

要知道这些模型都是派生模型，在派生模型中干扰项的自相关模式不同于初始模型（参见Rao and Miller,Applied Econometrics,p.168）。

如果在初始模型（ε_t）中的干扰项符合一阶自回归模式且具有自相关性：

Γ_k（ε）=p^k　k=1，2，…

我们应用了导致变换的干扰项μ_t=ε_t-λ ε_t-1，随后在派生模型（μ_t）中的干扰项具有自相关性：

如果λ的数值与p“接近”，（例如λ=0.75，而p=0.90），那么派生模型中干扰项的自相关效应就将受到显著“抑制”。例如当λ=0.75且p=0.90时，派生模型干扰项最大的自相关性处于lag 1，而且低于0.23。

稳定性

行为——回应模型的稳定性取决于下述矩阵的根：

位于单位圆内，对于（A1.0）模型，

而对于（A2.0）模型，

要解出根（z），需要算出下列式子的解：

或者：

或者

由于β₁和β₂都是负值，我们得到了实根。对于使用从1951—1976年的数据的模型，我们得出：

因此预测系统是稳定的。

对于使用1955—1964年、1966—1976年数据的模型（参见第四章最后一个注释），我们得出：

这个预测系统也是稳定的。

贬值率

战略武器的贬值率是通过求美国武器库中不同战略武器使用期限的近似值来计算的。表A3.2列出了相关武器系统、每个系统的部署年份、卸载年份及使用总年限。计算所需的数据源自珍妮特·伯梅斯特（Janet Burmester）在1968—1973年为密歇根大学核平衡项目所搜集的数据。之后几年的数据来自美国空军《统计摘要》《飞机和导弹摘要月刊》（1946—1972年），以及《SIPRI年鉴》（1974—1977年）。这个表格在一定程度上歪曲了实际贬值率，因为某些系统仅部署了一部分，而其他系统则已完全投入运行。然而，由于成本的差异，尝试通过调整来纠正偏差似乎是不可行的。我们还假设，所有在编武器系统到1985年均将完全贬值，这也可能导致偏差。此外，我们没有考虑翻新、更新和改善现有设备的成本。我们的结论是，战略装备的寿命约为15年到20年。我们现在可以将这个值代入原来的贬值率公式中。原式是：

S_x（t）=X（t）+λ S_x（t-1）

现有武器储备的完全贬值情况可简单计算如下：

1年后：λ S_x（t）；

2年后：λ² S_x（t）；

…

n年后：λⁿ S_x（t）。

我们可以计算贬值率（λ），具体列出武器库存贬值到什么程度（如1%、5%等）即可被视为完全贬值，以及武器库存需要多少年才能贬值到这个程度。因此，例如，如果我们假设原价值的1%为彻底贬值，我们假定武器储备需要15年才会贬值到其原价值的1%。我们就可以计算，如15==0.736。当然，将什么数值设定为完全贬值，以及假定需要多少年就会完全贬值，意味着完全不同的解决方案。某些合理的范围包括：

我们在分析中使用了0.75，这个数据是在假定完全贬值为0.01的时候，15年和20年的近似均值。