3.3.1　汉明码

2025年09月26日

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3.3.1　汉明码

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虚拟实验

汉明码是一种能够纠正1位错码且编码效率较高的线性分组码。它是1950年由美国贝尔实验室提出来的，是第一个设计用来纠正差错的线性分组码，汉明码及其变型已广泛应用于数据存储系统中作为差错控制码。

1.(n,k)汉明码

在前面讨论奇偶校验时，如按偶校验，由于使用了1位监督位a 0，故它就能和信息位a n-1，a n-2，…，a 1一起构成一个代数式，如式(3-6)所示。在接收端解码时，实际上就是在计算

式(3-10)称为监督关系式(也叫监督方程)，S称为校正子(校正子的个数与r相等)。若S=0，则无错;若S=1，则有错。由于校正子S的取值只有两种，它就只能代表“有错”和“无错”这两种信息，而不能指出错码的位置。不难推想，若监督位增加1位，即变成2位，则能增加一个类似于式(3-10)的监督关系式。由于两个校正子的可能值有4种组合:00，01，10，11，故能表示4种不同信息。若用其中1种表示无错，则其余3种就有可能用来指示一位错码的3种不同位置。同理，r个监督关系式能指示一位错码的(2r-1)个可能位置。

一般来说，若码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k。若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求

设分组码(n，k)中k=4，为了纠正1位错码，由式(3-11)可知，要求监督位数r≥3。若取r=3，则n=k+r=7，这就是(7，4)汉明码。

2.(7,4)汉明码

(7，4)汉明码的码组为a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 0，其中a 6a 5a 4a 3是信息码，a 2a 1a 0是监督码。

(1)(7，4)汉明码的纠检错

(7，4)汉明码r=3，所以有3个校正子，用S 1，S 2，S 3表示3个监督关系式中的校正子。规定S 1，S 2，S 3的值与错码位置的对应关系如表3-4所列(自然，我们也可以规定成另一种对应关系，这不影响讨论的一般性)。

表3-4　较正子与错码位置

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由表3-4的规定可知，当发生1个错码，其位置在a 2，a 4，a 5或a 6时，校正子S 1为“1”;否则“0”。这就意味着a 2，a 4，a 5和a 64个码元构成偶数监督关系，即

同理，a 1，a 3，a 5和a 6以及a 0，a 3，a 4和a 6也分别构成偶数监督关系，于是有

纵上所述，(7，4)汉明码是这样纠检错的:接收端收到某个(7，4)汉明码的码组，首先按照式(3-12)、式(3-13)和式(3-14)计算出校正子S 1，S 2，S 3，然后根据表3-4便可知道此(7，4)汉明码是否有错以及差错的确切位置，既而纠正差错。

例3-1 接收端收到某(7，4)汉明码为1001010，此(7，4)汉明码是否有错?错码位置为哪一位?

解计算较正子

S 1=a 6⊕a 5⊕a 4⊕a 2=1⊕0⊕0⊕0=1

S 2=a 6⊕a 5⊕a 3⊕a 1=1⊕0⊕1⊕1=1

S 3=a 6⊕a 4⊕a 3⊕a 0=1⊕0⊕1⊕0=0

较正子为110，根据表3-4可知此(7，4)汉明码有错，错码位置为a 5。

这里有一个问题需要说明:从表3-4可以看出，(7，4)汉明码无论是信息码还是监督码有错，都能够检测出来，即r个监督码对整个码组的n个码元都起监督作用。

(2)(7，4)汉明码的产生

以上我们知道了(7，4)汉明码是如何纠检错的了，但是(7，4)汉明码是如何产生的呢?下面加以介绍。

在发送端进行编码时，信息位a 6，a 5，a 4，a 3是数据终端输出的，它们的值是已知的。而监督位a 2，a 1，a 0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使式(3-12)、式(3-13)和式(3-14)中的校正子S 1，S 2，S 3均为零(表示码组中无错，是正确的码组)，于是有下列方程组

由上式经移项运算，解出监督位为

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