随机性数学模型
生物现象具有随机性和偶然性。随机性数学模型，即用过程论、概率论和数理统计等方法去研究和描述一些随机现象的方法。不过，同一事件或随机事件重复多次地出现可以表明，其中的变化也是有规律可循的。故目前在研究生物学时，我们常用的方法就是运用过程论、概率论以及数理统计的方法来建立随机性的数学模型。各种各样的统计分析方法现在已经成为研究生物学的工作和生产实践的常用手段，而生物统计学是生物数学模型发展较早的一个分支。下面以随机性数学模型在高中生物学教学中的一些案例进行陈述。
（一）差分方程
【案例11】种群数量的变化及其应用。
如果种群满足以下条件：
①增长是无界的；
②世代不相重叠；
③没有迁入和迁出；
④不具年龄结构。就可以建立最简单的单种种群增长的数学模型。通常是把世代t＋1、种群数量Nt＋1与世代t、种群数量Nt联系起来的差分方程表示为：
Nt＋1＝λNt或Nt＝N0λt
其中，N0为种群起始大小，t为时间，λ为种群的周期增长率。
举例说，一年生（即世代间隔为一年）生物种群，开始时有10个雌体，到第二年有200个，那就是说，N0＝10，N1＝200，即一年增长20倍。今以λ代表种群两个世代的比率：
如果种群在无限环境下以这个速率年复一年地增长，即
将方程式Nt＝N0λt两侧取对数，即：
lg Nt＝lg N0＋（lgλ）t
若将lg Nt＝lg N0＋（lgλ）t用直线方程式y＝a＋bx的形式表达，即以lg Nt与t作图，就能得到一条直线，其中lg N0是截距，lgλ是斜率。
λ是种群离散增长模型中常用的量。如果λ＞1，则种群数量上升；如果λ＝1，则种群数量稳定；如果0＜λ＜1，则种群数量下降；如果λ＝0，则表示雌性没有繁殖能力，种群逐渐灭绝。
（二）概率论
【案例12】概率论实践应用案例——性状分离的模拟实验。
（1）实验目的。
①理解等位基因在形成配子时发生分离、受精时雌雄配子随机结合的过程。
②认识和理解基因的分离和随机结合与生物性状之间的数量关系。
（2）实验原理。
进行有性生殖的生物，等位基因在减数分裂形成配子时会彼此分离，形成两种比例相等的配子。受精作用时，比例相等的两种雌配子与比例相等的两种雄配子随机结合，机会均等。随机结合的结果是后代的基因型有三种，其比为1∶2∶1；表型有两种，其比为3∶1。由于此实验不能直接用研究对象进行操作，故用模型代替研究对象进行实验，模拟研究对象的实际情况，以获得对研究对象的认识，所以此实验方法又称模拟实验。
（3）实验材料。
①小塑料桶或圆柱形容器（分别代表雌、雄生殖器官）两个。选择盛放小球的容器最好采用小桶或圆柱形容器，建议不要采用方形容器，以便摇动小球时能充分混匀。
②两种大小一致、质地统一、手感相同且要有一定重量的彩色小球各20个（彩球分别代表雌、雄配子，用不同彩球的随机组合，模拟生物在生殖过程中雌雄配子的随机结合）。
③一种颜色的彩球标记为A，另一种颜色的彩球标记为a。
④记录用的笔和纸。
（4）实验步骤（实验装置如图1-2-26所示）。
图1-2-26 性状分离模拟实验的装置图
①分装、标记小球。
取甲、乙两个小桶，每个小桶内放两种色彩的小球各6个，并在不同色彩的球上分别标上字母A和a。甲桶上标记雌配子，乙桶上标记雄配子。甲桶中的A小球与a小球，就分别代表含基因A和含基因a的雌配子；乙桶中的A小球与a小球，就分别代表含基因A和含基因a的雄配子。
②混合小球。
分别摇动甲、乙小桶，使桶内小球充分混合。
③随机取球。
找三个学生：一个记录，两个分别从两个小桶内随机抓取一个小球，组合在一起，记录下两个小球的字母组合，这表示雌配子与雄配子随机结合形成合子的过程。（注意：不要看着桶内的小球，要随机去抓，且随便搅拌一下，以增大其随机性，用双手同时去两个桶内各抓一个。桶内小球的数量必须相等，A、a基因的小球数量之比必须为1∶1，且每次抓出的两个小球统计后必须放回各自的小桶，以保证概率的平等。每做完一次模拟实验，将小球放回后都要摇匀桶内小球，然后再做下次模拟实验）
④重复实验。
将抓取的小球放回原来的小桶，摇动小桶中的彩球，使小球充分混合后，再按上述方法重复做50～100次（重复次数越多，模拟效果越好）。记录时，可先将AA、Aa、aa三种基因型按竖排先写好，然后每抓一次，就在不同基因型后以“正”字形式记录，如表1-2-3。
表1-2-3 性状分离的模拟实验数据表
⑤统计小球组合。
统计小球组合为AA、Aa和aa的数量分别是多少，并记录下来。
⑥计算小球组合。
计算小球组合为AA、Aa和aa之间的数量比值是多少，计算小球组合为AA和组合为aa的数量比值是多少，并记录下来。
⑦实验结论分析，得出实验结果。
在实验误差允许的范围内，得出合理的结论（可将全班每一小组结果综合统计，进行对比）。
总之，在生物学科中进行构建数学模型思维的渗透，把复杂的研究对象转化为数学问题，经科学合理简化，建立一个用数学揭示研究对象规律的关系式，不仅可让学生体会到生物学并非一门理解型的自然科学，而且可让学生感觉到构建数学模型确实能更好地解决一些生物学实际问题。
【案例3】概率论实践应用案例——杂合子连续自交的情况分析。
（1）杂合子Aa连续自交，第n代的比例情况见表1-2-4。
表1-2-4 性状分离的模拟实验数据表
根据上表比例公式，纯合子、杂合子、显（隐）性纯合子的坐标曲线如图1-2-27所示。
图1-2-27 杂合子Aa连续自交，第n代的纯合子、杂合子比例曲线模型
从曲线图中得到启示：在育种的过程中，选育符合人们要求的个体（显性）连续自交，直到性状不再发生分离，即可留种推广使用。
（2）杂合子Aa连续自交，且逐渐淘汰隐性个体，自交n代后，显性个体中第n代的比例情况见表1-2-5。
表1-2-5 杂合子连续自交、淘汰隐性个体后的情况表
图形、图表是信息的重要载体和工具，是生物考试中重要的命题形式和手段，能直观地反映生物的形态、结构和生命过程，高度简洁地概括生理活动之间的相同点、区别和联系，因此一直受中高考命题专家青睐，成为复习备考的重点。从近几年的中高考试题中可以看出，试题的新颖度、难度和区分度在一定程度上都借助图表和图形的创新。这已成为命题的重要切入点。一方面是考查学生对生物学常用图形、图表所表达的内容和含义的正确理解，另一方面是考查学生用图形、图表的表达方式描述生命现象和生命活动规律的能力。