鸡兔同笼
在李渊、李世民、李治（唐高祖、太宗、高宗）祖孙三代当皇帝的唐朝初年，作为教科书的有《孙子算经》、《夏侯阳算经》和《张邱建算经》。现在，上海图书馆中收藏着宋朝刻本的《孙子算经》，被公认为古籍中的善本，非常珍贵。由于考证资料太少，这三部书的作者和编写年代都不甚清楚。虽然名为《孙子算经》，但该书的作者是否姓孙，谁都不能确定，只知道大约成书于公元400年，相当于中国历史上的南北朝时期。
《孙子算经》里有一道对后世极有影响的趣题，原文如下：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？
由于汉高祖刘邦的妻子吕后名字叫“雉”，后世为了避讳，就把“雉”这种动物改称“野鸡”。改朝换代之后，这种禁忌完全没有必要了，“野鸡”的那个“野”字，也就可以取消了。于是，一般提到它时就简称为“鸡兔问题”。
这道题目的意思是说：现有一些鸡和兔，关在同一只笼子里。从上面看，共有35个头；从下面看，共有94只脚。试问有多少只鸡，多少只兔子？
解决这个问题，通常用的是置换法。先假定笼子里头全是鸡，那么应当有70只脚。但是现在实际上有94只脚，相差24只脚。
如果拿1只鸡换1只兔，那么头数不动，脚数要加上20。由此可见，若想加上24只脚，需要换进12只兔子。既然共有35只动物，从而鸡有35-12=23（只）。于是算出了答案：笼中共有鸡23只，兔子12只。
不难看出，以上所说的思路是有普遍性的；不但适用于鸡和兔，也适用于仙鹤和乌龟（在日本等东北亚国家，鸡兔问题就称为“鹤龟算”）、鸵鸟与大象等别的两脚和四脚动物。
然而，《孙子算经》里不用置换法，而是提供了另外一种奇妙解法，原文如下：
术曰：上置头，下置足；半其足，以头除足，以足除头，即得。
特别是“以头除足，以足除头”这句话，极有几分幽默之味，古文不好的人简直读不懂。其实，这里所谓的“除”并非除法的“除”，而是“减”的意思。
如果用白话文加以解读，那么《孙子算经》的解法实际上就等同于下面的操作：
取脚数94的一半，得47；
用脚数之半47减去头数35，得12，这就是兔子的只数；
再拿头数35减去兔子的只数12，得23，即为鸡的只数。
看来，《孙子算经》的作者自己解此题时，用的就是现在的方程组算法：
设x为鸡数，y为兔数，则
“上置头”便是x+y=A，
“下置足”便是2x+4y=B；
“半其足”便是x+2y=
B；
“以头除足”即为y=
B-A，
“以足除头”即为x=A-y。
当代著名数学教育家波利亚教授，在他的权威著作《数学发现》里对此解法极为推崇，赞扬备至。
设想笼子里所有的鸡都提起一条腿，集体表演“金鸡独立”，所有的兔子都是两条后腿落地，跷起前腿。这时，每只鸡落地的脚数为1，就是头数；每只兔子落地的脚数是2，等于头数加1。
所以，总脚数的一半与总头数的差，是一定等于兔子只数的。请看，古人把“一一对应”原理运用得多么得心应手，多么神乎其神。
看来，数学不论深浅，要想取得重大进展，是少不了“顿悟”与巧思妙解的。