9.2.3　轴的强度计算

2026年01月14日

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9.2.3　轴的强度计算

1)传动轴的强度计算

为了保证传动轴在传递转矩时不致因强度不够而破坏,轴内的最大切应力不得超过轴材料的许用切应力,即要求

式(9.1)即传动轴扭转强度校核公式。注意,T 应是全轴危险截面上的扭矩,也就是产生最大切应力的横截面上的扭矩。扭转截面系数Wp(mm3)可查看圆形截面的极惯性矩与扭转截面系数相关资料。许用切应力由实验确定。研究表明,许用切应力[τ]和许用正应力[σ]之间存在关系:

塑性材料

脆性材料

例9.1　如图9.20(a)所示的传动轴为钢制的实心轴。已知轴的转速n =300 r/min,主动轮A 输入功率PA =400 kW,3 个从动轮输出功率分别为PB =120 kW,PC =120 kW,PD =160 kW。材料的许用切应力[τ] =30 MPa,切变模量G =80 GPa。

(1)试计算各段扭矩并作出扭矩图。

(2)试按强度条件计算此轴的直径。

解　(1)计算各轮的转矩

因A 为主动轮,故转矩的转向与轴的转向相同,而各从动轮的转矩与轴的转向相反,各轮转矩为

图9.20　例9.1 图

(2)用截面法计算各截面扭矩

①沿截面Ⅰ—Ⅰ截开取左段,在截面Ⅰ—Ⅰ上作用着T1,方向为负,则

②沿截面Ⅱ—Ⅱ截开取左段, 截面Ⅱ—Ⅱ上作用看T2,方向为负,则

③沿截面Ⅲ—Ⅲ截开取右段,截面Ⅲ—Ⅲ上作用者扭矩T3,方向为正,则

(3)作扭矩图

画出扭矩图,如图9.20(b)所示。

(4)按强度条件计算此轴的直径

由计算可知,全轴上最大扭矩

根据强度条件

得

根据上述计算结果,为了满足强度条件,实心轴直径应不小于109 mm,可取标准直径d =112 mm (见表9.1)。

例9.2　如图9.5 所示的汽车的传动轴由材料为45 钢的无缝钢管制成,外径d =90 mm,内径d1 =85 mm,传递的最大转矩M =1.5 kN·m,材料的[τ] =60 MPa。

(1)校核轴的强度。

(2)若用相同材料制成实心轴,并要求与原轴强度相同,试计算实心轴的直径d2。

(3)比较实心轴和空心轴的质量。

解　(1)强度校核

传动轴各截面扭矩均相等,即

扭转截面系数为

故此轴强度足够。

(2)计算实心轴直径d2

由于材料相同,当要求它们强度相同时,实际上只要使它们的抗扭截面系数相等,即

(3)比较两轴质量

设空心轴的质量为G1,实心轴的质量为G2,由于两轴材料相同,长度相同,它们的质量比即截面积比,则

可知,在强度相同的条件下,空心轴的质量只有实心轴的1/3。这是因实心轴中心部分的切应力远小于许用切应力,中心部分的材料未被充分利用。如把中心部分材料移到离圆心较远的位置,即将轴制成空心轴,既可节省材料,又可减轻自重。但空心轴壁厚不能太薄,太薄会产生局部皱褶,使承载能力下降。

2)强度理论简介

当构件受轴向拉、压时,其强度条件是σ =FN/A≤[σ],式中的许用应力[σ]是由材料的极限应力σ0 除以安全系数n 得到的。对静应力,塑性材料的极限应力应为屈服点σs,脆性材料的极限应力应为强度极限σb。 σs 和σb 都是由试验直接确定的。因此,单向应力状态时的强度条件是以材料试验为基准的(关于应力状态的理论,请查阅有关书籍)。

工程中,实际构件大多处于复杂的应力状态(双向应力状态或3 向应力状态),材料的破坏与3 个主应力都有关。如果直接从试验来确定材料的危险应力,就要按照3 个主应力的不同数值进行无数次试验,这是无法实现的。因此,必须根据单向应力状态的试验结果来建立复杂应力状态时的强度条件。

根据长期的实践经验和大量的试验结果,人们对材料的破坏进行分析与研究,提出各种关于材料破坏原因的假设,这种假设称为强度理论。常用的有以下4 种:

①第一强度理论认为,材料破坏的原因是最大拉应力,即不论材料处于单向应力状态还是复杂应力状态,只要构件内3 个主应力中的最大拉应力达到单向应力状态时的危险应力,材料就要断裂破坏。这个假设又称最大拉应力理论。

②第二强度理论认为,材料的破坏决定于最大拉应变,这个假设又称最大拉应变理论。拉应变的计算与3 个主应力都有关。

以上两个强度理论是在人们早期使用石料、铸铁等脆性材料的经验上建立起来的,它们与脆性材料的断裂破坏试验结果相符,故适用于脆性材料。但是,它们与塑性材料的屈服破坏试验结果不符,故不适用于塑性材料。

③第三强度理论认为,材料的破坏是最大切应力引起的,即不论材料处于单向应力状态或复杂应力状态,只要构件内的最大切应力达到单向应力状态时的危险应力,材料就要屈服破坏。这个假设又称最大切应力理论。

④第四强度理论认为,材料的破坏是与变形能有关的。外力迫使构件变形时所做的功被构件储存称为变形能。这个假设又称变形能理论。变形能的计算仍与构件内的切应力有关。

第三强度理论、第四强度理论是建立在塑性材料使用经验和试验结果的基础上,第三强度理论偏于安全,第四强度理论符合试验结果,它们都获得了广泛应用。

关于由各强度理论得到的强度计算公式请查阅材料力学手册。

在轴的强度计算中,常涉及弯扭组合变形的强度计算,在此给出以第三强度理论建立的圆轴弯扭组合变形的强度条件,即

3)转轴的强度计算

转轴在机械传动中得到了广泛的应用,转轴既传递转矩又承受弯矩,是在弯扭组合状态下工作的。转轴的强度计算分为初步计算和校核计算。在设计转轴之前,轴承之间的距离尚未确定,轴上弯矩的大小和分布是未知的。因此,设计时首先按轴所传递的转矩初步估算出受扭转轴段的最小直径,然后根据其结构条件确定出轴的形状和几何尺寸,最后进行轴的强度校核计算。

(1)初步设计计算

由式(9.1),当M=T 时,按转矩初步估算实心轴直径的强度条件为

式中　d——实心轴直径,mm;

T——轴传递的转矩,N·mm;

P——轴传递的功率,kW;

[τ]——许用切应力,MPa;

n——轴的转速,r/min;

C——计算常数,取决于轴的材料及受载情况,见表9.2。

当轴按式(9.2)求得的轴段上开有键槽时,应适当增大直径。有一个键槽时,轴径应增大4% ～5%,若同一截面有两个键槽时,轴径增大7% ～10%。同时,将轴径圆整,并按表9.1 取标准值。

表9.2　轴常用材料的C 值

注:当轴所受弯矩较小或只受转矩时,C 取小值;否则,取较大值。

(2)强度校核计算

这种计算一般是在按照前述方法初估轴径d 的基础上,进行轴的结构设计,定出支点和载荷位置后,再进行强度校核计算。对一般的轴,按弯扭合成强度计算即可;对重要的轴,需用安全系数法进行精确计算,详见有关资料。

对一般的轴,由第三强度理论可知,弯扭组合变形的强度条件为式(9.2),即

对一般转轴,弯曲应力按对称循环变化;当轴不转或随载荷一起转动时,考虑实际载荷的波动,弯曲应力按脉动循环变化。多数情况下,转轴的转矩变化规律难于确定,故一般转轴扭矩按脉动循环变化;当需要经常正反转时,按对称循环变化。

计算轴的直径时,式(9.2)可写为

表9.3　轴材料的许用弯曲应力

(https://www.daowen.com)

例9.3　长l=1.6 m、直径d =110 mm 的轴AB 用联轴器和电动机联接,如图9.21(a)所示。在AB 轴的中点装有一重G=5 kN、直径D =1.2 m 的带轮,两边的拉力各为F =3 kN 和2F=6 kN。轴材料为45 钢,σb =600 MPa,试校核此轴的强度。

图9.21　例9.3 图

解　(1)轴的受力分析

①画出轴的受力简图,如图9.21(b)所示。

②求轴上的作用力。轴上中点所受的力是带轮自重和带拉力之和,即

③求轴上转矩。电动机输出的转矩应与带输出的转矩相等,即

通过受力分析可知,此轴受弯矩组合的作用。

(2)按当量弯矩校核轴的强度

①求支反力

②求弯矩、作弯矩图

画出弯矩图,如图9.21(c)所示。

③求扭矩、作扭矩图

在轴中心点与电动机B 点内轴截面上的扭矩为

画出扭矩图,如图9.21(d)所示。

④按当量弯矩法校核强度

弯曲应力按对称循环,由表9. 3 查得[σb] -1 =55 MPa,扭矩按脉动循环变化,取α =0.6,则

故此强度足够。

图9.22　减速器简图

例9.4　试设计如图9.22 所示单级斜齿圆柱齿轮减速器中的从动轴。已知传递功率P =10 kW,从动轮转速n2 =202 r/min,分度圆直径d2 =356 mm,所受圆周力Ft2 =2 656 N,径向力Fr2 =985 N,轴向力Fa2 =522 N,轮毂宽度L=80 mm,齿轮单向传动,轴承采用6200 型。

解　(1)选择轴的材料及热处理方法

选择轴的材料及热处理方法,并确定许用应力选用45钢。由碳素结构钢的化学成分与力学性能(GB/T 700—2006),可得σb =600 MPa。

由表9.3,查得[σb] -1 =55 MPa。

(2)按扭转强度估算最小直径

由式(9.3)及表9.2,查得C=112,可得

最小直径还应符合相配零件的孔径(这里是联轴器)标准尺寸,故取d=45 mm。

(3)轴结构尺寸的确定

确定轴的结构尺寸,如图9.23 所示。

①确定轴上零件布置及固定方式

因为是单级齿轮减速器,可将齿轮布置在中央,轴承对称地布置在两侧,轴的外伸端安装联轴器。

图9.23　轴结构草图

齿轮以轴环和套筒实现轴向定位和固定,以平键联接及过盈配合H7/r6 实现周向固定,轴头设有装配锥度。两端轴承分别以轴肩和套筒,实现轴向定位,以过渡配合k6(轴公差带)实现周向固定。整个轴系(包括轴承)以两端轴承盖实现轴向固定。联轴器以轴肩、平键联接、过渡配合H7/k6 及周向固定。

②确定轴的各段直径

采用阶梯轴,尺寸由小至大、由两端向中央的顺序确定。外伸端直径最小为45 mm,联轴器定位轴肩高hmin =3.5 mm,直径为52 mm,安装两滚动轴承处的轴颈直径同为55 mm,按题意取6211 型轴承。由轴承安装尺寸要求,查轴承有关标准得轴肩高hmin =4.5 mm 轴肩和套筒外径为64 mm,圆角r=1 mm;取与齿轮相配的轴头直径为60 mm,定位环h =5 mm,直径为70 mm,其余圆角查有关标准均为1.5 mm。

③确定各段轴的长度

按照齿轮、轴承和联轴器的尺寸,首先在草图上作出这些零件的大致位置,然后再确定各相关长度。

齿轮置于中央,按轮毂宽度L =80 mm,取轴头长度为78 mm,轴承对称地布置在齿轮两侧,按轴承宽度取这两段轴的长度为21 mm;齿轮两端面与箱体内壁距离各取23 mm,以容纳轴环和套筒,从而定出轴的跨距l=151 mm。按壁体结构需要,内壁至右轴承盖外端面距离为45 mm。轴端伸出长度46 mm 为安装联轴器要求的空间位置,70 mm 为由联轴器确定的轴头长度,这两尺寸均由联轴器标准给定。

(4)校核轴的强度

①绘出轴的受力图(见图9.24(a))。

②作水平面内的弯矩图(见图9.24(b))。

支座反力为