9.3.1 轴的刚度计算
轴受载后,会产生弯曲变形和扭转变形。 如果轴的刚度不够,即变形超过允许的限度,就会影响轴上零件的正常工作,甚至会破坏机器的工作性能。 例如,在齿轮及蜗杆传动中,当轴变形过大,则会影响齿轮正常啮合而产生载荷集中现象;又如,轴的转角过大,会使滑动轴承产生不均匀磨损和过度发热,使滚动轴承内外圆过度歪斜以致卡死、损坏等。 因此,轴必须有足够的制度,尤其对重要物的设计,必须进行刚度的校核计算。
轴的刚度包括弯曲刚度和扭转刚度两种。 前者以挠度y 和截面转角θ 来度量;后者以扭转角φ 来度量。 轴的刚度校核计算通常是计算出轴在受载时的变形量,并控制其不大于允许值。
轴的刚度条件如下:
挠度
转角
单位长度扭转角
式中,y,θ,φ 的计算见第2 章的力学公式; [y], [θ],[φ]分别为轴的许用挠度、许用转角、许用扭转角。 其值见表9.4。
表9.4 轴的许用挠度[y]、 许用转角[θ]、许用扭转角[φ]
注:L—轴的跨距,mm;Δ—电机定子与转子之间的气隙,mm;mn—齿轮法向模数,mm;mt—蜗轮端面模数,mm;
下面分别举例说明轴的扭转刚度与弯曲刚度的计算方法。
例9.5 如图9.25(a)所示为一传动轴。 已知轴上传递的转矩M1 =2.5 kN·m, M2 =4 kN·m, M3 =1.5 kN·m。 轴材料的剪切弹性模量G =80 GPa。 试求该轴的最大切应力和截面A 相对于截面C 的扭转角φA-C。
图9.25 例9.5 图
解 (1)分段计算各截面的扭矩,并画出扭矩图
AB 段
BC 段
根据以上数据画出扭矩图,如图9.25(b)所示。
(2)计算轴上各段的最大切应力
AB 段
BC 段
最大切应力τmax =35.4 MPa。 由此可知,变截面圆轴的最大切应力不一定在扭矩最大的截面上。 全轴切应力最大的截面,称为危险截面。 等直径圆轴,因WP 为常数,故扭矩最大的截面就是危险截面。
(3)计算A,C 两截面之间的扭矩角φA-C
由于A,C 两截面之间的扭矩T 和GIP 不是常量。 因此,分别计算AB 与BC 两段的扭转角,然后叠加。 A,B 两截面之间的扭转角为
B,C 两截面间的扭转角为(https://www.daowen.com)
例9.6 设例9.1 的传动轴为钢制的实心轴。 其材料的许用切应力[τ] =30 MPa,剪切弹性模量G=80 GPa,许用扭转角[φ] =0.3°/m,试按强度条件和刚度条件计算此轴的直径。
解 由例9.1 的计算可知,全轴上最大扭矩为
根据强度条件
得
再由刚度条件
得
根据上述计算结果,为了同时满足强度和刚度条件,应在两个直径中取较大值,即实心轴直径应不小于17 mm。 在表9.1,可取标准直径d=118 mm。 由此例可知,当扭转刚度要求较高时,轴径往往由其扭转刚度来确定。
图9.26 例9.7 图
例9.7 车床主轴(见图9.26)简化为外径D=80 m、内径d=40 m 的等截面空心轴,其弹性模量E=2 GPa, C 端许用挠度[yC] =0.000 2l,轴承B 处的许用转角[θB] =0.001 rad,F1 =3 kN,F2 =2 kN, 试校核轴的刚度。
解 (1)求F1 单独作用时主轴的变形(见图9.26(b))
主轴横截面的惯性矩为
查梁在简单载荷作用下的挠曲线方程与特殊截面的挠度和转角,可得
(2)求F2 单独作用时主轴的变形(见图9.26(c))
由梁在简单载荷作用下挠曲线方程与特殊截面的挠度和转角,可得
(因变形很小,且BC 段无载荷,变形后仍为直线)
(3)求F1 和F2 同时作用下的变形
运用叠加原理,得
(4)计算轴变形的许用值
计算轴变形的许用值为
因此,主轴满足刚度条件。