7.2 实验原理
在土水势的作用下水分在土壤中沿水平方向的入渗过程称为水平入渗。
对于一个半无限长的土柱，假定土壤初始含水量为均匀分布，则水平入渗的Richards定解方程以及边界条件可表示如下[1]。
定解方程：
边界条件：
式中：D（θ）为土壤水分运动的扩散率；θ为土壤的含水量；θ0为初始土壤含水量；θs为进水端的边界土壤含水量，一般为饱和含水量；t为时间；x为水平方向的坐标。
土壤水分运动的扩散率D（θ）不为常数，可以利用微分法则分析得到D（θ）与土壤含水量θ、时间t和距离x的函数关系。
以水平距离x为因变量，X为土壤含水量θ和时间t的函数，表示成X（θ，t）为未知函数，已知θ=θ（x，t），在∂θ/∂x不等于零处，也即在含水量不随距离变化的位置范围内，对于初始含水量分布一致的土体标本来讲，位置坐标x可以通过入渗后湿润锋范围以内的土壤含水量分布曲线函数X（θ，t）来确定，也即在入渗湿润段范围内某点位置x=X（θ，t），而对于湿润锋未达到的位置范围，因为X（θ，t）不由含水量θ和时间t决定，x≠X（θ，t）。所以在已湿润范围内水平距离x的函数关系可以写成为[2-3]
对式（7.3）求x的偏导数，t作为常数看待，其对x的偏导数为0，结果为
对式（7.3）求t的偏导数，x作为常数看待，其对t的偏导数为0，结果为
由以上两式可得
因为在∂θ/∂x不等于零范围内，x=X（θ，t），因此式（7.4）和式（7.5）中X（θ，t）就可以用x替代，即式（7.4）和式（7.5）可以写成
将式（7.6）和式（7.7）代入式（7.1）得以x为因变量的方程为
Boltzman假设方程（7.8）有解，该解分别是由两个独立变量θ和t各自的独立函数相乘得到[4]，即
对式（7.9）中的η（θ）和s（t）求偏导数得
将式（7.10）和式（7.11）代入式（7.8）得
式（7.12）的左端为t的函数，右端为θ的函数，即该式对任一t和θ均成立。可见等式两端必为同一常数，设该常数为a，故式（7.12）可以写成
对式（7.14）积分得
式中：c1为积分常数。
将式（7.16）代入式（7.9）得
引入参数λ（θ）=（2a）1/2η（θ），代入式（7.17）得
由式（7.2）的第二个边界条件，当t＞0，x=0时，θ=θs，代入式（7.18）可得(https://www.daowen.com)
因为式（7.19）中的t+c1≠0，所以
由式（7.2）的第一个边界条件，当t=0，x＞0时，θ=θ0，代入式（7.18）可得
由此可知c1必为0或∞，当c1→∞时，λ（θ0）=0，结果是θ0=θs，为饱和稳定流动，与所讨论的问题不符。故c1=0，即
将c1=0代入式（7.18）得
式（7.23）和式（7.24）即为Boltzman变换。
对式（7.23）的土壤含水量θ和时间t求导数，即
将式（7.25）和式（7.26）代入式（7.8），并将偏微分方程写成常微分方程得
整理式（7.27）得
对式（7.28）积分得
由于式（7.29）中的λ（θ）为坐标x和时间t的函数，所以式（7.29）表示了土壤含水量θ随时间t和入渗距离x的变化关系。
由式（7.29）可得
λ（θ）难以表达成一个解析式，在实用上常将式（7.30）改写成差分形式，即
将式（7.23）的λ（θ）=xt-1/2代入式（7.31）得
式（7.32）即为土壤水分运动的扩散率D（θ）与土壤含水量θ、入渗距离x和时间t的差分解关系式。
式（7.32）的计算过程如下
对于水平入渗，土壤累积入渗量和入渗率的计算方法如下。
Philip采用Boltzman变换，给出了土壤累积入渗量和入渗率公式。累积入渗量公式为
式中：S称为吸水系数或吸渗率，为常数。
入渗率f（t）为
式（7.39）和式（7.40）称为Philip土壤累积入渗量和入渗率公式。