23.2.2　稳定流时潜水运动的Boussinesq方程[2]

23.2.2　稳定流时潜水运动的Boussinesq方程 [2]

图23.2所示为潜水的一维运动，在平行于xOz平面的渗流场内取出一块单位宽度的土体，土体的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右为两个相距为dx的铅直剖面。

图23.2　潜水的非稳定一维运动分析简图

设从上游断面1—1流入土体内的单宽渗流量为，从下游断面2—2流出土体内的单宽渗流量为，在铅直方向，单位时间内补给含水层的水量或蒸发的水量为ω（入渗补给取正值，蒸发取负值）。

在dt时段内，从上游断面1—1流入和从下游断面2—2流出的水量差为

在dt时段内，垂直方向的补给水量为ωdxdt。

在dt时段内，小土体中水量总的变化为

小土体内水量的变化必然会引起潜水面的上升或下降。设潜水面变化的速率为∂H/∂t，则dt时段内，由于潜水面的变化而引起的小土体内水体积的增量为

根据质量守恒原理，单位时间内由于潜水面的变化而引起小土体内水体积的增量等于小土体内水量的变化，即(https://www.daowen.com)

整理式（23.6）得

通过任意断面的单宽渗流量q=vh，则第22章的式（22.3）可以写成

将式（23.8）代入式（23.7）得

如果渗透系数k和给水度Sv为常数，则式（23.9）可进一步整理为

式（23.10）可写成

由式（23.1）可以看出，α为导压系数。

式（23.11）即为有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程，通常称为Boussinesq方程。