22.2.1 地下水非均匀渐变渗流的裘布衣公式和微分方程
位于不透水地基上的孔隙区域内具有自由表面的渗流，称为地下水渗流。该渗流为无压渗流，渗流与大气相接触的自由表面称为浸润面。地下水渗流与地面明槽流类似，也分为棱柱体、非棱柱体地下水；也可分为顺坡、平坡、逆坡地下水；渗流可分为恒定均匀渗流和恒定非均匀渐变渗流。本章主要研究恒定非均匀渐变渗流浸润曲线问题。
1.非均匀渐变渗流的裘布衣公式[1]
图22.1为一恒定非均匀渐变渗流分析简图，在相距为ds的断面1—1和断面2—2之间任意取微小流束ab，在a点的测压管水头设为H1=z1+p1/γ，b点的测压管水头为H2=z2+p2/γ，其中z1和z2为断面1—1和断面2—2的位置水头，p1/γ和p2/γ为断面1—1和断面2—2的压强水头。从a点至b点的测压管水头差或水头损失为dhw=H1-H2=-（H2-H1）=-dH，水力坡度为J=dhw/ds=-dH/ds，根据达西定律，微小流束在a点处的流速为
图22.1 恒定非均匀渐变渗流流束分析简图
因为沿水流方向单位势能的增量dH恒为负值，为使J为正值，故在公式前加负号。
断面1—1上的平均流速为
式中：u为a点处的流速；v为断面1—1的平均流速；k为渗透系数；A为断面1—1上的过水断面面积。
对于恒定非均匀渐变渗流，由第19章已知，同一横断面上各点的测压管水头为常数，对于任何微小流束，渗流从断面1—1流至断面2—2，其测压管水头差dH相同，断面1—1和断面2—2之间各流线的长度ds近似相等，所以不同微小流束的水力坡度dH/ds为一常数，故式（22.2）可写成
式（22.3）即为著名的裘布依公式，是由法国学者裘布依于1857年提出来的。裘布依公式表明，在非均匀渐变渗流中，过水断面上各点的流速相等，并等于断面平均流速，流速分布图为矩形，但对不同的过水断面，水力坡度J不相等，因而流速也不相等。裘布依公式在形式上与达西定律相同，不同的是水力坡度J随断面位置而变，而达西定律的J对各断面均相同。
图22.2 非均匀渐变渗流微分方程分析简图(https://www.daowen.com)
2.恒定非均匀渐变渗流的基本微分方程[2]
上面已经说明，恒定非均匀渐变渗流的基本关系式是裘布衣公式（22.3），下面利用这个基本关系式研究非均匀渐变渗流的基本微分方程。
设有一恒定非均匀渐变渗流如图22.2所示。不透水地基的底板坡度为i，取基准面0—0及任意两个相距为ds的过水断面1—1和断面2—2，由图中可以看出，水头H为渗流水深h与不透水层面至基准面之间的铅直距离z0之和，即H=h+z0
对上式求导数得
由于底板的坡度
，代入裘布依公式（22.3）得
式中：Q为流量；A为过水断面面积。
设地下水过水断面宽度为b，通过该宽度的单宽渗流量为q，因为过水断面的面积A=bh，单宽渗流量q=Q/b，代入式（22.5）得
式（22.5）和式（22.6）即为恒定非均匀渐变渗流的基本微分方程式。
当地下水渗流为恒定均匀渗流时，水深沿程不变，dh/ds=0，水深h为正常水深h0，则由式（22.6）可得单宽渗流量q与正常水位h0、渗透系数k以及底坡i的关系为
由水力学已知，渗流的流速水头αv2/（2g）非常小，相比于渗流水深可以忽略，所以渗流中没有临界水深，也不存在缓坡、陡坡和临界坡以及急流、缓流和临界流的概念，这样，在地下水中只有正坡、平坡和逆坡3种底坡类型。下面用式（22.6）和式（22.7）分析正坡、平坡和逆坡地下水渗流浸润线的计算方法。