23.2.5 用拉普拉斯变换法计算非稳定流时排水沟的浸润曲线
排水沟非稳定流的计算公式仍为式（23.28）。分析时采用拉普拉斯变换将偏微分方程变为常微分方程来处理。
拉普拉斯变换的思想是：设函数H（t）或H（x，t）是定义在区间（0，∞）上的函数，用e-pt乘以H（t）或H（x，t），再对时间t从0到∞积分，如果积分在复数p平面上的某一区域上是收敛的，则可以将此积分延拓到全平面，并称此积分为H（t）或H（x，t）的拉普拉斯变换函数或像函数，记作H（p）或H（x，p），即
式中：H（t）或H（x，t）为H（p）或H（x，p）的原函数；H（p）或H（x，p）为H（t）或H（x，t）的像函数。
文献[6]认为，在降雨强度很大、入渗历时较短的情况下，除排水沟临近地段由于排水沟的控制作用而使得局部浸润线发生变化，大部分地区地下水位的变化均与无排水时相同。对于这种情况，将入渗过程近似地按瞬时补给一定的水量ω来考虑，由此引起排水沟间地段渗流浸润曲线普遍上升，因此可以看成在降雨停止的瞬间，两排水沟间地段上的地下水位统一处于某一位置，如图23.5中的虚线所示。而在t＞0时，沟水位突然下降，地下水运动方程仍可用式（23.28）表示。
图23.5 排水地段浸润曲线分析图
为了分析方便，以地下最高水面为基准面进行分析，如图23.5所示，并将式（23.28）写成
初始条件：当t=0时H（x，0）=0。
边界条件：当x=0时H（0，t）=-H0，当x=L0时∂H（L0，t）/∂x=0。其中L0为两个排水沟之间的半距离。
设水位函数H（x，t）的像函数为H（x，p），根据拉普拉斯变换方程的定义，有
对式（23.61）的等号右边应用拉普拉斯变换，即
根据初始条件，当t=∞时，e-pt=0；当t=0时，H（x，0）=0，代入上式得
对式（23.61）的等号左边应用拉普拉斯变换，即
由此可得
由此可以看出，通过拉普拉斯变换后，已将偏微分方程变成了常微分方程。
边界条件的拉普拉斯变换为
式（23.65）的特征方程为
由式（23.68）求得
，由此得
对式（23.69）求导数得(https://www.daowen.com)
根据拉普拉斯变换的边界条件，当x=0时，H（0，p）=-H0/p，代入式（23.69）得
当x=L0时，∂H（L0，p）/∂x=0，代入式（23.70）得
由式（23.71）和式（23.72）解出
将C1和C2代入式（23.69）得
式（23.73）可以写成
式（23.75）即为拉普拉斯变换得到的像函数关系式。下面通过拉普拉斯逆变换得到本函数。
拉普拉斯逆变换可以查拉普拉斯变换表[7]，得
将式（23.77）和式（23.78）代入式（23.75），并将式中的H（x，p）换成H（x，t）得
式中：erf（x）为误差函数；erfc（x）为误差函数的补函数。
将以上二式代入式（23.79）得
如果只取无穷级数第一项，即取n=0，则
将以上两式和n=0代入式（23.79）得
注意，计算的H（x，t）为从图23.5的坐标轴向下的距离。如果以排水沟的水面为坐标轴，则排水沟水面以上的浸润线为h（x，t）=H0-H（x，t），将式（23.82）代入，并注意坐标方向得
在两个排水沟中间，即x=L0处，t时刻的浸润线高度最大，设为hmax（L0，t），则由式（23.83）得
