24.2 实验原理
具有自由液面的地下水称为无压地下水或潜水。在潜水中修建的井称为潜水井或无压井。潜水井分为两类，井底深达不透水层的井称为完整井，井底未达不透水层的井称为非完整井。本章只讨论潜水完整井的渗流模拟实验。
根据井的用途不同，潜水井又分为潜水抽水井与潜水注水井。潜水抽水井主要用于农田灌溉、生活用水、工业用水或进行渗流的渗透系数等参数的测量，如图24.1所示。潜水注水井也是进行渗流的渗透系数等参数测量的另一种方法，还用于涵养地下水资源和防止地面沉降等，如图24.2所示。
图24.1 潜水抽水井
图24.2 潜水注水井
设图24.1中含水层厚度为H0，当不从井中抽水时，井中的水面与原含水层厚度一样，如图中的虚线所示。当从井中抽水时，井中水位开始下降，含水层中四周的地下水汇流入井，周围地下水面逐渐下降而形成降落漏斗形的浸润面[1]。假定含水层体积很大，在抽水过程中流量保持不变，含水层可以无限制地供给一定的流量，经过一段时间后，井四周的渗流可认为达到了稳定状态，此时井中水位下降值Sw和降落漏斗所形成的浸润面的形状均保持不变，井中的水深hw也保持不变，而在井轴距离含水层边界很远处的含水层厚度H0也保持不变[2]。
假设含水层均质且各向同性，渗流对井轴是对称的，各径向断面上的渗流情况相同，除井四周附近地区外，浸润曲线的曲率很小，可以近似地认为是渐变渗流，且渗流符合达西定律。
对于潜水井渗流的研究，仍然可以采用Boussinesq方程进行分析，第23章已给出了潜水渗流的Boussinesq方程为式（23.10），将式（23.10）改写成
对于隔水底板水平的情况，式（24.1）可以写成
式（24.2）是针对一维渗流推导出来的，将其扩展到空间渗流，则式（24.2）可以写成
当没有入渗补给时，ω=0，由于是稳定流动，∂h/∂t=0，所以式（24.3）可以写成
式（24.4）可进一步写成
式（24.5）为二阶偏微分方程，其特点是将水头的非线性问题化为h2的线性问题[3]。尽管如此，直接求解式（24.5）仍有一定的困难。实用上，一般将式（24.5）化为柱坐标或极坐标方程来进行分析。现以图24.3所示的坐标系分析如下。
设
图24.3 直角坐标与极坐标关系
由式（24.6）得
将式（24.5）写成
将式（24.8）改用柱坐标系表示，水头函数的变换关系为[4]
根据偏微分法则，在xOy平面上，有
由式（24.7）对有关参数求微分如下：
将式（24.11）代入式（24.10）得
将式（24.12）代入式（24.8）得
式（24.13）可以写成
将式（24.15）代入式（24.14）得
将式（24.16）的两式相加得
因为(https://www.daowen.com)
将式（24.18）代入式（24.17），并注意到式（24.8）得
式（24.19）可以进一步写成
因为
，代入式（24.20）得
在直角坐标系和柱坐标系下，z是相同的，即式（24.21）中的最后一项不管是在直角坐标系下还是在柱坐标系下，其形式保持不变[4]。
Dupuit假定井流的水流是水平的，井流的过水断面为同心圆柱面，通过不同过水断面的流量处处相等，水头对于井轴是对称的，和θ角无关，即（∂2h2/∂θ2）/r2=0，同时，h随深度z的变化也可以忽略不计，即∂h2/∂z=0，所以式（24.21）中的最后一项等于零，h仅仅是径向距离r的函数[5]，所以式（24.21）进一步简化为
式（24.22）即为计算潜水井渗流的柱坐标表达式，因为公式中h只与r有关，所以可以写成常微分方程为
如图24.1所示的潜水井，其边界条件为，当r=rw时h=hw，当r=R时z=H0，其中rw为井的半径，R为井的影响半径。
对式（24.23）积分一次得
渗流通过任意断面的流量公式为
由式（24.25）得
将式（24.26）代入式（24.24）得
，将其代入式（24.24）得
对式（24.27）积分得
将边界条件r=rw时h=hw，当r=R时z=H0代入式（24.28）得
因为
（H0-hw）（H0+hw）=Sw[H0+H0-（H0-hw）]=（2H0-Sw）Sw，将其代入式（24.29）解出流量得
其中
式中：Sw为井水位降深；R为井的影响半径；rw为井的半径；k为渗透系数；H0为潜水含水层厚度；hw为井中的水深。
式（24.30）称为潜水井的Dupuit公式。
设距井轴为r处的含水层厚度为h，则由式（24.29）可得
由此得潜水完整井的抽水浸润曲线方程为
如果将式（24.29）与式（24.31）相减，可得潜水完整井抽水浸润曲线的另一方程为
如果将水注入潜水完整井，注水井中的水深hw大于含水层的水深H0。如图24.2所示。此时出水量为负值，则公式（24.29）变为[3]
潜水完整井注水的浸润曲线用式（24.35）计算，即
下面分析井的影响半径R。Dupuit在推导单井流量公式时，假定含水层是一个以井轴为中心的圆柱体，在这个圆柱体以外含水层的水头保持不变，水位降深Sw=0，而在这个圆柱体的内部水头发生变化，Sw＞0，所以井的影响半径R为井轴距圆柱体外面水头保持不变处的距离[4]。Dupuit的影响半径有明确的物理意义。
从理论上讲，抽水会波及整个含水层，不可能存在一个水位降深Sw=0的位置，Dupuit假定的影响半径在自然界中也很难找到，所以影响半径的概念是有缺陷的。但在很多情况下，抽水影响到一定距离以后，水位下降值变得很小，以至于很难观测出来，为了应用Dupuit公式，1870年，德国工程师Adolph Thiem定义影响半径为从抽水井起至实际上已观察不到水位降深的点的水平距离[5]。或者说，在某个区域以外，水位降落值近似地等于零，降落曲线近似于静止水位，而在这个区域以内，可以观察出来降落漏斗，从抽水井中心到这个可以观察出来的降落漏斗的外部边界的距离称为影响半径[5]。根据此定义，文献[3]和文献[5]列举了几个作者的研究成果，可在计算中参考。如果水位降深不大，只有几米时，影响半径通常根据经验估算[5]，对于细沙，R=25～200m，对于中沙，R=100～500m，对于粗沙，R=400～1000m。
Dupuit公式的第二个问题是没有考虑渗出面。所谓渗出面，是指井在抽水时，井内水位和井壁水位并不一样高，而是存在一个水位差（井壁水位高于井中水位），水位差随着水位降深而增大，这个水位差称为渗出面，也叫水跃。И.А.Чарньïй在1951年[3]曾作过严格的数学证明，认为用Dupuit公式计算流量时，用井内水位hw是完全正确的，如果用井壁水位来代替井内水位，计算结果反而不正确。对于浸润曲线，杨式德在1949年曾对一潜水井的例子用张弛法求得精确解[3]，结果表明，当r＞0.9H0时，Dupuit公式计算与精确解的曲线完全一致，当r＜0.9H0时，两者计算结果开始偏离，到井壁处，实际的浸润曲线高于用Dupuit公式计算的浸润曲线。一般认为，当r≤H0时，用Dupuit公式计算浸润曲线是不正确的[3]。