17.2.1 渗流场和电流场的拉普拉斯方程
电模拟实验是巴甫洛夫斯基（Н.Н.Павловский）于1918年提出来的，1920年首次用于土堤及其地基的渗流模拟实验中；此后苏联学者阿拉文（В.И.Аравин）、德鲁任宁（Η.И.Дружинин）、古金马赫（Л.И.Гутенахер）、谢斯塔可夫（В.М.Шестаков）等对电模拟的理论、实验方法、造型技术、模型材料、仪器设备等进行了研究与改进，使得电模拟实验得到了进一步的发展；20世纪30年代，西方学者马拉瓦（L.Malavard）、魏可夫（R.D.Wyckoff）、墨斯卡特（M.Muskat）、齐尔兹（E.C.Childs）、马尔（P.H.Marre）、卡普拉斯（W.J.Karplus）、李普曼（G.Liebmann）、雷徳夏（S.C.Redshaw）、路希顿（K.R.Rushton）等相继对电模拟开展过研究，促进了电模拟实验的发展和应用[1]。
用电模拟实验研究渗流问题，是基于水在多孔介质中的流动服从达西定律和电流在导电介质中的流动服从欧姆定律，两者具有相似性。渗流场和电流场符合相同的数学物理方程，通过测量电流场中的有关物理量可以得到渗流场中的有关物理量，这种方法叫做水电比拟实验法，也叫电模拟实验法。
已知渗流的达西定律为[2]
式中：v为渗流的流速；k为渗透系数；H=p/γ+z0为渗流水头；p为渗透压强；γ为水的重度；z0为相对于某参照基面的位置水头；L为渗透距离。
渗流场的连续性方程为[2]
式中：vx、vy、vz分别为渗流流速v在x、y、z方向的渗透流速。
当渗流场的土壤各向异性时，式（17.1）可以写成
式中：kx、ky、kz分别为x、y、z方向的渗透系数。
将式（17.3）代入式（17.2）可得各向异性土壤渗流的连续性方程为
对于各向同性的土壤，kx=ky=kz，则式（17.4）可以写成
式（17.4）和式（17.5）称为渗流水头的拉普拉斯方程。
将H=p/γ+z0代入式（17.5）可得渗流压强的拉普拉斯方程为
同样，电流场的电流密度为[3]
根据欧姆定律，电流密度i在x、y、z方向的投影为
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式中：ix、iy、iz分别为电流密度i在3个坐标x、y、z方向的投影；σx、σy、σz分别为电导系数σ在3个坐标x、y、z方向的投影；V为电位（电压）。
已知电流的连续性方程的克希荷夫（Kirchhoffs）定律（电荷守恒）为
将式（17.8）代入式（17.9）得
当电流密度i各向同性时，则ix=iy=iz，式（17.10）变为
式（17.10）和式（17.11）即为电位（或电势）的拉普拉斯方程。
比较式（17.4）和式（17.10）或式（17.6）和式（17.11）可以看出，渗流场和电流场可以用同一形式的数学物理方程式，即拉普拉斯方程。正是由于两种物理场可以用同一形式的数学方程来表达，所以在边界条件相似的电模型中可以通过测量等电位线来代替渗流中的等水头线。
进一步证明如下[1]。
设渗流场与电流场之间的几何比尺为λ，渗流水头H和电位V之间的相似比尺为λH，x、y、z为渗流场的坐标，x'、y'、z'暂且代表电拟实验模型的坐标[因为渗流场已用x、y、z来代表，这里暂时用x'、y'、z'代替式（17.11）中的x、y、z]，则电流场与渗流场的关系为
将式（17.12）代入式（17.11）可得
因为λ2/λH不为零，所以
式（17.14）与式（17.5）相同，由此可以看出，只要渗流场与电流场遵守几何相似条件，则式（17.5）和式（17.11）所描述的现象是彼此相似的。
渗流场和电流场的其他相似关系见表17.1。
表17.1 渗流场与电流场的其他相似关系
从表17.1可以看出，如果用导体来做渗流区的模型，以电场模型代替按一定比例缩小的渗流区域，做到几何相似和边界条件相似，则导体中的等电位线就相当于渗流区的等水头线，导体中的电流密度就相当于渗透流速，导体中的电流强度就相当于渗流的流量。