23.2.4 用分离变量法计算非稳定流时排水沟的浸润曲线
文献[1]认为，一般情况下，地下水位的变化值远较含水层厚度h小得多，h可_以用_平均含水层厚度
代替，其误差不大，所以式（23.1）中的导压系数α可写成
=
/Sv为常数，则式（23.11）变为
文献[1]还认为，雨季长期降雨，降雨时地下水位与沟中水位齐平，由降雨入渗补给地下水的水量大于排水沟排出的水量，则地下水位将不断地上升；降雨停止后，水位开始回落，即下降的水位随时间而变化，在这种情况下，排水沟的水位应按非恒定流公式计算。
当降雨停止后，入渗补给量ω=0，则式（23.27）简化为[1]
为了与稳定流时相区别，在下面的公式推导中，排水沟的含水层厚度、潜水层厚度均以水位表示。
设排水沟的间距为L，初始水位为H0，任一断面的水位为H，坐标原点设在两个排水沟中间，如图23.4所示。在这种情况下，两个排水沟中的水位相同，设为H1，则式（23.28）的初始和边界条件为
初始条件：当t=0时H=H0。
边界条件：当x=0时∂H/∂x=0，当x=L/2时H=H1。
图23.4 非稳定流时排水沟间距计算示意图
式（23.28）为二阶常系数齐次偏微分方程。对式（23.28）可以用分离变量法求解，也可用拉普拉斯变换法求解。
分离变量法又叫傅里叶分离变量法，是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。
由边界条件可以看出，当x=L/2时H=H1，边界条件不是齐次的，根据分离变量法的要求，齐次微分方程的边界条件也应该是齐次的[3]，所以还不能对式（23.28）求解。如果将x轴上移至排水沟的水面，令
=H-H1，于是式（23.28）变为
初始条件：当t=0时
=H0-H1。
边界条件：当x=0时∂
/∂x=0，当x=L/2时
=0。
新的边界条件为齐次边界条件，可以根据新的初始条件和边界条件对式（23.29）求解。
设
式中：h（x）仅是坐标x的函数；T（t）仅是时间t的函数。
对式（23.30）的时间t和坐标x求导数得
将式（23.31）和式（23.32）代入式（23.29），则
对式（23.33）分离变量得
式（23.34）左边是x的函数，与时间t无关，右边是t的函数，与坐标x无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作-λ2[4]，则
式（23.35）可以分离为关于T（t）的常微分方程和关于h（x）的常微分方程，即
由此可见，用分离变量法将偏微分方程式（23.29）变成了两个常微分方程式（23.36）和式（23.37）。
对式（23.36）分离变量并积分
式（23.38）的解为
式（23.37）为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为
解上式得
，为一对共轭复根，这时h1（x）=eiλx和h2（x）=e-iλx是微分方程（23.37）的两个解。
由欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，可得
由于复值函数h1（x）和h2（x）之间为共轭函数，因此取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以2i就得到它们的虚部，由于式（23.37）符合叠加原理[4]，所以(https://www.daowen.com)
因为
不为常数，所以微分方程式（23.37）的解为
将式（23.39）和式（23.40）代入式（23.30）得
令CC1=α，CC2=β，则式（23.41）可以写成
式（23.42）对x求导数得
由边界条件：当x=0时，
，代入式（23.43）得
因为λcosλx≠0，所以β应等于零，将其代入式（23.42）得
由边界条件，当x=L/2时，
，代入式（23.45）得
由此得
，将其代入式（23.45）得
因为解的线性组合仍为其解，所以式（23.47）更一般的形式为[5]
式（23.48）中的系数αn，根据傅里叶级数求系数的方法[4]，可由初始条件确定，当t=0时，
=H0-H1，将其代入式（23.48）得
将式（23.49）的左端用傅里叶级数展开，则有[4]
式（23.50）的积分结果为
将系数αn和
=H-H1代入式（23.48）得
当时间t较大时，可以只取其级数的第一项，即n=0的项，式（23.52）变为
由图23.4可以看出，当x=0时，含水层最高点位于排水沟的中间，为计算方便，仍取n=0，则由式（23.52）得排水沟间距的计算公式为
用式（23.54）可以计算排水沟的间距L。此式与文献[6]给出的计算公式一致。
式（23.52）和式（23.53）可以用来进行排水沟非稳定流浸润曲线的计算。如果已知初始水位H0和排水沟的水位H1以及排水沟的间距，即可由式（23.52）或式（23.53）计算不同时间排水沟的水位降落。
对式（23.52）求导数得
将式（23.55）代入式（23.8）得单宽渗流量的计算公式为
由式（23.56）可以看出，当x=0时，即在两个排水沟的中间断面，单宽渗流量等于零，此处是分水岭。当x=L/2时，即在排水沟断面，单宽渗流量为
特别的，当n=0时，单宽渗流量为
对于隔水层底板水平的情况，式（23.56）～式（23.58）中的含水层厚度h即为图23.4中的H。