8.2.1 土壤垂直一维入渗的Philip解
土壤垂直一维入渗的Richards定解方程和定解条件[1]为
式中：D（θ）为土壤水分运动的扩散率；K（θ）为土壤非饱和导水率；θ为土壤含水量；θ0为土壤的初始含水量；θs为进水边界端的土壤含水量或饱和含水量；t为入渗时间；z为土壤的垂向入渗方向或垂向坐标，向下为正。
Philip对Richards方程进行了求解，求解过程如下。
对式（8.1）左侧利用微分法则可以得到
∂θ/∂z（θ，t）可以写成
将式（8.3）、式（8.4）代入式（8.1）得
Philip借用了一维水平入渗过程Boltzman变换的基本思想，同时认为土壤含水量和时间是相互独立的函数，因此提出了一个级数解法，假设
式中：φi（θ）为土壤含水量θ的函数。
对于垂直入渗，累积入渗量可表示为
式中：右端第1项为土壤剖面中土壤水的增量；第2项为下边界的重力下渗量；K（θ0）为初始含水量相应的导水率。
将式（8.6）代入式（8.7）得累积入渗量为
Philip认为，由于这种级数收敛较快，一般取前4项就能达到足够的精度。作为一种近似计算，取级数的前4项得
土壤入渗率为
式中：φ1（θ）实际上就是水平入渗引入的参数λ（θ）。
文献[2]对以上分析进行了证明，介绍如下。
将式（8.5）等式右端的第一项可以写成
将式（8.12）代入式（8.5）得
对式（8.6）的φi（θ）求导数
对式（8.14）的两端平方得(https://www.daowen.com)
对式（8.6）的时间t求一次导数得
将式（8.15）～式（8.17）代入式（8.13），并注意到φi（θ）是含水量θ的函数，式中的∂φi（θ）/∂θ=dφi（θ）/dθ，∂2φi（θ）/∂θ2=d2φi（θ）/dθ2，由此得
式中：t可取任意值，因此要使式（8.18）等于零，各项系数必为零，由此条件可得
将式（8.21）代入式（8.20）可得
将式（8.22）与第7章的水平入渗公式（7.27）比较，可见φ1（θ）就是λ（θ）。由此可以得出结论，Philip垂直入渗解的式（8.6）中的第一项φ1（θ）t1/2表示的就是忽略重力作用后的水平入渗解。
令
，S仍称为吸水系数或吸渗率，在实用上，通常取式（8.10）和式（8.11）的前两项，并设A2+K（θ0）=A，则
式中：A为稳渗率。
当应用Philip公式解决实际问题时，吸渗率S和常数A根据入渗实验实测数据求出。
Philip的垂直入渗公式是对半无限均质土壤、在初始含水量分布均匀、有薄层积水条件下求得的，因此该入渗公式只适用于均质土壤一维垂直入渗的情况。另外，随着时间的增加，级数的收敛性越来越差，当模拟计算的入渗时间值很大时级数有可能不收敛。所以Philip的级数公式只适用于入渗时间不很长的情况。
Philip的土壤垂直入渗计算实例：
本算例采用西安理工大学（原陕西机械学院）学生阮英会在1991年对西峰黄土所做的实验数据。已知土的干重度γd=1.35g/cm3，垂直土柱直径为11.8cm，土柱段长度为80cm，土柱土壤上表面积水深度为5cm，马氏瓶直径为9.2cm，实验时间t=1200min，土壤的初始含水量θ0=0.0305，饱和含水量θs=0.460，实测土壤含水量、入渗量、湿润锋随时间的关系见表8.1。
1.吸渗率S计算
实测的湿润锋z、入渗时间t、土壤含水量θ见表8.1。在计算时，表中第1列为实测湿润锋z；第2列为实测的入渗时间t；第3列为土壤含水量θ。第4列为φ1=zt-1/2；第5列为Δθ，即表中第3列数据的第2行减去第1行，第3行减去第2行的结果，以此类推；第6列为φ1，φ1为φ1的算术平均值，即表中第4列数据的第2行与第1行的算术平均值，第3行与第2行的算术平均值的结果，以此类推，第7列为
Δθ；第8列为∑
Δθ；第9列为入渗量V，即马氏瓶水面下降高度与马氏瓶断面面积的乘积除以土柱的截面面积。
垂直入渗吸渗率
，由表8.1可以看出，表中的第8列最后一行即为所得吸渗率S=0.6275cm/min1/2。
表8.1 吸渗率S计算表
2.土壤累积入渗量F（t）和入渗率f（t）的计算
土壤累积入渗量用式（8.23）计算。由表8.1可以看出，表中的第9列的第一行即为该时刻土壤的累积入渗量F（t）=21.313cm。
将S=0.6275cm/min1/2、F（t）=21.313cm和入渗时间t=1200min代入式（8.23）求得A近似为0，由此得西峰黄土累积入渗量方程为
西峰黄土的土壤入渗率方程为
实测西峰黄土的土壤含水量θ与垂直入渗距离z的关系如图8.1所示。
图8.1 西峰黄土入渗量θ与入渗距离z的关系