18.2 实验原理
窄缝槽实验或平行板模拟实验的基本理论是多孔介质中饱和流动的微分方程与描述两平行板间狭窄缝隙内（相当于二维单元体）黏性液体流动的微分方程之间存在相似关系[1]。
黏性液体（水、油等）在多孔介质中的二维运动是黏性液体与多孔介质的综合物理过程。1898年，英国人Hele Shaw利用平行玻璃板形成层流研究二向位势流动，这就是所谓的窄缝槽模拟实验；据现有资料考证，1931年，Zamarin第一个应用窄缝槽模拟装置研究了土坝的渗流，以后，窄缝槽模拟实验被应用于人工补给、海水入侵、排水、土坝渗流等区域性地下水流动问题的研究；1954年，Polubarinova Kochina和Shkrich、1966年，Bear Jacobs和Braester用窄缝槽模拟实验研究了石油开采问题[1]。
窄缝槽模拟装置常做成立式和卧式两种形式，也称作垂直模拟装置和水平模拟装置。垂直模拟装置由两片垂直放置的平行板组成，平行板的大小取决于原型尺寸和模拟比尺，用以模拟垂直平面中的二维流动问题。水平模拟装置是将两片平行板水平放置，则其缝隙表示水平的承压含水层或油层，用以模拟平面上的二维流动问题，既可模拟单一液体的流动，也可模拟两种液体的流动，如果将平板倾斜放置，则可模拟倾斜含水层或油层的流动问题[1]。窄缝槽模拟装置用于三维流动的研究成果甚少，毛昶熙[2]介绍了一种三向黏滞流模型，该模型要求液体的黏滞性非常高，以保证所模拟的多孔介质中的流动为层流流态条件。毛昶熙[2]还介绍了策列等曾用直径为2mm的玻璃球以及直径为2.5～3mm较圆的沙作为多孔介质材料，以甘油掺水作为模型液体进行了辐射井各水平集水管和地下水自由面下降三向模型的实验研究。张建丰曾经在单井的半圆形地下水流场中利用荧光材料观察到透明边界处的流线分布现象。但文献[3]认为窄缝槽只能模拟二维流动问题。
本章仅介绍垂直窄缝槽模拟实验的理论、实验方法和装置。
窄缝槽模拟实验有其独特的优点：可以给出流动过程的流线图像、自动形成自由水面线、流线。实验过程简单、模拟结构比沙槽简单。
窄缝槽模拟实验的原理可以用两平行板中层流运动的纳维埃-斯托克斯方程进行分析。
如图18.1所示，纳维埃-斯托克斯方程为[4，5]
式中：X、Y、Z为x、y、z方向的单位质量力；p为压强；ρ为液体的密度；g为重力加速度；z为位置水头；h为测压管水头；ν为液体的运动黏滞系数；ux、uy、uz分别为x、y、z方向的流速；t为时间。
由式（18.1）可以看出，纳维埃-斯托克斯方程由4项组成，Ⅰ为单位质量力项，Ⅱ为压力项，Ⅲ为黏滞阻力项，Ⅳ为惯性力项。左边三项为外力项，右边为加速度项。单位质量力项表示作用在单位质量液体微元上的单位体积力；压力项表示作用在单位质量液体微元上压强的变化率；黏滞阻力项表示单位质量液体微元上因分子黏滞作用而产生的黏滞切应力或水头损失；惯性力项表示作用在单位质量液体微元上的当地加速度和迁移加速度之和。
两平行板之间任一流层的层流运动的流速分布如图18.2所示，由图18.2可以看出，沿x方向，窄缝槽中心的流速最大，从窄缝槽中心向两边流速逐渐减小，在窄缝槽的壁面处流速等于零。在y方向，对于宽度为2a的垂直缝隙中流动的液体来说，由于窄缝槽的缝隙很窄，可以略去y方向的流速（uy=0），即认为在y方向两点之间水势相等，流体没有横向的流动，在x、z方向的压力梯度或水头梯度与y无关，压力或水头在任一平行壁面的平面上分布相同，流线的形态也必然相同。
图18.1 两平行板中的层流
图18.2 窄缝槽层流流速分布
对于恒定流动，因为各个点的流速不随时间发生变化，其加速度为零，即∂ux/∂t=∂uy/∂t=∂uz/∂t=0。在y方向，因为uy=0，∂uy/∂x=∂uy/∂y=∂uy/∂z=0，uy∂ux/∂y=uy∂uz/∂y=0，∂2uy/∂x2+∂2uy/∂y2+∂2uy/∂z2=0，因为p=ρg（h-z），所以∂p/∂x=ρg∂h/∂x，∂p/∂y=ρg∂h/∂y，∂p/∂z=ρg∂h/∂z-ρg，将以上结果代入式（18.1）中，式（18.1）可以简化为
如图18.2所示，两平行板间黏性液体的流动在一定的流量时，由于流动十分缓慢，黏滞力大大超过惯性力，垂直于壁面方向的流速梯度与壁面间的距离成反比，因此当两平行板非常靠近时，由于液体黏附着平板，所以在y方向的流速梯度比x和z方向的流速梯度大得多，因此x和z方向的流速梯度可以忽略，即∂ux/∂x、∂ux/∂z、∂uz/∂x和∂uz/∂z以及它们的二阶导数∂2ux/∂x2、∂2ux/∂z2、∂2uz/∂x2、∂2uz/∂z2均可略去，在平行板黏性液体的流动中，有效的质量力只有垂直方向的重力，即X=0，Y=0，Z=-g，则式（18.2）简化为[2]
由此得
式（18.4）的边界条件为y=0时，∂ux/∂y=∂uz/∂y=0，y=±a时，ux=uz=0。对式（18.4）积分两次，代入边界条件可得
(https://www.daowen.com)
式中：a为两平行板之间的半距离。
对式（18.5）的第一式求z方向的偏导数，第二式求x方向的偏导数，得
由式（18.6）可以看出，
，由质点运动的角速度ωy=
可知，流体在x-z平面的流动是有势流动，因此可以应用平行板间的黏性流体的流动模拟地下水的位势流动。
在平行板间的平均流速为
渗流的达西定律为
比较式（18.7）与式（18.8）可以看出，式（18.7）窄缝实验槽中的平均流速表达式与式（18.8）渗流的平均流速表达式在形式上完全相似，因而就构成了相互模拟的相似条件。
比较式（18.7）和式（18.8）可得窄缝槽模型的渗透系数为
设原型与模型的比尺为λl=ln/lm，λv=vn/vm，λk=kn/km=kn/[a2g/（3ν）]=3νkn/（a2g），其中下标n表示原型，下标m表示模型。对于正态模型，比较式（18.7）和式（18.8）可得
式中：λl为长度比尺；ln为原型长度；lm为模型长度；λv为流速比尺；vn为原型流速；vm为模型流速；λk为渗透系数比尺；kn为原型渗透系数；km为模型渗透系数。
对于原型与模型的流量比尺，设模型两平板之间的宽度2a相当于原型的单位宽度，则原型与模型的面积比尺为
因为Qn=vnAn，Qm=vmAm，则流量比尺为
窄缝槽中液体的层流运动可以用雷诺数Re来表征，雷诺数的计算公式为
式中：v为窄缝槽中液流的断面平均流速。
液体的运动黏滞系数ν，当液体为水时，可以用第4章的式（4.22）计算；对于其他液体可查阅相关文献。
对于液体在窄缝槽中的运动，达到层流条件的经验判断方法是观察流线是否光滑和边界是否清晰，如果不符合以上两个条件，则认为不是层流运动。在实验中可以通过液体中的颜色水的流动进行判断，当颜色水为边界清晰的光滑曲线时表明液流为层流运动，当颜色水沿程颤动或破碎时表明液流已超出层流的范围。Aravin和Numerov认为窄缝槽层流运动的雷诺数上限为Re≤500；而Santing认为Re≤1000[1]。