17.2.5 流速势函数与流函数
在恒定流场中垂直于某一平面的同一垂直线上，所有液体质点均具有平行于这个平面的相同运动，则称这种流动为恒定平面流动。在恒定平面流动中，如果液体的质点没有角变形，或者说角速度等于零，则称为恒定平面有势流动，简称为恒定平面势流。在恒定平面势流中，有两个重要的函数，即流速势函数φ和流函数ψ。
由水力学已知，质点流速场不形成微小质团转动的流动称为有势流动（也叫无涡流动），简称势流。如果把流场中的流速用函数φ的梯度来表示，这个函数φ就称为流速势函数，简称势函数，所以速度势的梯度就是流场中的速度。在渗流场中，势函数φ常用液体的位置势能和压强势能来表示，即φ=z+p/γ；对于一般的地下水流动，实际流速很小，流速水头可以忽略不计，重度γ在一定的水温情况下为一常数，所以可近似地认为地下水的总水头H就等于测压管水头z+p/γ，即H=z+p/γ，由此可知流速势函数φ=H。
流线是指某一瞬时在流场内的一条几何曲线，在该曲线上的每个液体质点的速度向量都与该曲线相切，所以流线表示液体的瞬时流动方向，它是速度场中的向量线。因为流函数是对流线方程的积分得到的，也可以说，对流线方程的积分所得到的函数关系称为流函数。流函数是描述流速场的另一个沿流线为常数的标量函数，所以流函数的等值线就是流线。
恒定平面势流中由φ值相等的点连成的线称为等势线，由ψ值相等的点连成的线称为等流函数线或流线。已经证明[6]，等势线与流线互相正交。由流线簇和等势线簇所组成的互相正交所形成的网格称为液体流动的流网，或简单地说，流线和等势线互相正交所形成的网状图形即为流网。
在平面x、y方向的流速vx和vy与流速势函数φ及流函数ψ的关系为[6]
比较式（17.32）和式（17.33）可得
满足式（17.34）关系的两个函数在数学上称为共轭函数，或称Cauchy-Riemann条件。说明在恒定平面势流中，流速势函数φ和流函数ψ互为共轭函数。利用这个关系，只要知道流速vx和vy，就可推求φ和ψ，或者知道其中一个函数就可推求另一个函数，叫做函数的互换性。利用流速势函数和流函数的这种性质，结合给定的边界条件，可在电模型实验中测出两组曲线群，如果对换模型的边界条件，两组曲线可以互换，这也是由电模拟实验能够测量流线的理论依据[3]。
对式（17.32）求流速vx和vy的偏导数得
将式（17.35）代入式（17.2），因为是恒定平面势流，vz=0，由此得
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可见流速势函数满足连续性方程式（17.2）。
同理，对式（17.33）求流速vx和vy的偏导数得
将式（17.37）中的第一式与第二式相加，仍得∂vx/∂x+∂vy/∂y=0，可见流函数仍然满足连续性方程。
在恒定平面有势流动中，质点的角速度为
由式（17.38）得
将式（17.34）中的vx=∂ψ/∂y和vy=-∂ψ/∂x代入式（17.39）整理得
式（17.36）和式（17.40）表明，流速势函数和流函数均满足拉普拉斯方程，在数学上满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。
由以上分析可以得出，在恒定平面有势流动中，流速势函数和流函数均满足连续性方程，都是调和的共轭函数，具有互换性。