对另一种技术工具——形式的研究

正如人们创造出“数量”这一概念以及与之相关的词语来代表一系列经验，这些经验集合在一起时，在很多人的世界观看来是有用的，人们也创造了“形式”的概念，并将这一概念与“形状”、“范围”、“长度”、“宽度”、“高度”、“面积”、“体积”等概念相联系。以上这些概念在技术活动中总是与各种建造（如武器、手推车、船等的建造）联系在一起。

但是，形式和数量的相关概念有着显著的不同。后者是离散的能够处理精确的问题（没有歧义、不模棱两可），在处理物质世界的问题时具有一定程度的明确度。数字和物体之间关系的基础经常是一对一的，因为经过说明后，数字从根本上成为对离散物体的标记。

但是与形式相关的概念不易与物体联系起来，这个问题需要解释一下。

以“长度”一词为例，它与我们称其为“线”的这种形式相关。这两个词是代表了我们对物质世界中各种边的一组视觉和触觉经验的符号[1]。问题是，我们遇到的任何一条边，在一定的理解程度上都是“不平滑的”、不完美的，如果我们所说的“完美”是指从一个地方到另一个地方没有任何变化的话。

另一方面，假设我们能够将人们对边的感知程度和边的粗糙度分辨清楚，那么对不同的边的感知就有了共同点——“边”一词及与此相关的概念由此而生。这一共同特点是在我们的世界观中建立“直线”这一概念的过程中概括出来的，反过来，概括的过程在我们思考形式的概念时也被广泛使用。其他与形式相关的词语也以相同方式从人们的经验中概括出来，所有这些概括都来自对物质世界中物体的物理感知的共性。

所以，一方面我们想要操纵和控制物理对象，并且概括出与这些对象模糊相关的抽象概念。而抽象概念和物体之间缺乏精确的一对一的连接，意味着我们在将概念及其他源于操纵物理对象的复杂概念与物理对象相联系时，必须要小心谨慎。即便我们对概念的操作遵循的是明确的规则（一直如此），我们的操作因此可能是明确的，我们也必须时时注意两者之间的关系并不精确。

创造与形式相关的复杂的概念被称为“几何”，而且就我们所知，在最早的历史时期就已经有“几何”了。对几何学知识的追求在古希腊非常富有创造性并取得了巨大成就，从那时起就成了许多几何学家活得有意义的生存目标。作为一种知识追求，几何学是纯粹的，是很多几何学领域之外的人的快乐源泉，因为在建筑设计、艺术设计、雕塑设计等其他设计领域中，形式也是一个非常关键的概念。

尽管物理对象和与之有着模糊关系的抽象的几何概念之间的关系不够精确，但这些抽象概念已经被很多有创造力的设计者用来非常具有独创性地操纵物理对象了。从几个世纪以来建筑学的发展以及与建筑相关的活动中可见一斑。几何学在操纵物理世界的活动中的用途非常广泛，很容易让人忘记二者之间的关系是模糊不清的。

另一方面，值得我们记住的是：几何学和数学一样，我们在利用与它们相关的工具设计的知识结构时体会到的快乐，构成了无数数学家有意义生活的基础[2]。数学确实是一种艺术形式。很多数学家（还有很多研究理论的自然哲学家）同时也是热情的音乐家并非偶然。他们的抽象概念设计技能受到人们的敬仰，这些设计的本质在20世纪得到发展，与艺术的本质密切相关。现代抽象艺术被称为“虚无的图片”[3]，这一称谓用来称呼数学家创造出来的抽象结构也非常贴切。