《高等数学》简介
《高等数学》这本书是由刘忠东等创作的,《高等数学》共有63章节
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前言
为了适应高等教育大众化的发展现状，在教学课时减少的情况下，使学生能较好地掌握高等数学的基本思想和方法，提高学生的数学素质和能力，编者根据多年的教学实践编写了本书...
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第1章 函数与极限
函数是高等数学的主要研究对象，极限是微积分学的理论基础．本章着重介绍函数的极限和连续性等基本概念以及它们的性质．...
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1.1 函数
一般地，把具有某种特定性质的对象组成的总体称为集合，把组成集合的对象称为该集合的元素． 通常用大写字母A，B，C等表示集合，用小写字母a，b，c等表示元素．若a...
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1.2 数列极限
定义1 如果按照某一法则，对每个n∈Z＋，都对应着一个确定的实数an，这些实数按下标n从小到大排列得到的一个序列： a1，a2，…，an，… 称为无穷数列，简称...
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1.3 函数极限
因为数列{an}可以理解为定义域为正整数集Z＋的函数：an＝f（n），所以数列{an}的极限为A是指：对于ᗄε＞0，Ǝ正整数N，当n＞N时，就有∣f（n）－A∣...
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1.4 极限存在准则 两个重要极限
本节介绍极限存在的两个准则，并在此基础上讨论两个重要极限：及 1）夹逼准则 定理1 如果数列{an}，{bn}，{cn}满足： （1）存在正整数N，当n＞N时，...
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1.5 无穷小与无穷大
定义1 如果则称f（x）为当x→x0时的无穷小． 例如，因为所以函数sin x是当x→0时的无穷小． 类似可定义时的无穷小． 特别地，以零为极限的数列｛an｝称...
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1.6 函数的连续性
自然界中连续变化的现象是很多的，如空气或水的流动，气温的变化等．这些现象反映到数学的函数关系上就是函数的连续性．函数的连续性是微积分学的基本概念之一，它同函数的...
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习题1
一、填空题 1．已知f（x）＝sin x，f［φ（x）］＝1－x2，则φ（x）＝_____． 2．设，则f［f（x）］＝_____． 3．设在（－∞，＋∞）内连...
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第2章 导数与微分
微分学是微积分学的基本组成部分，它的基本内容是导数和微分．本章通过实际问题引入导数与微分的概念，然后讨论它们的计算方法．...
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2.1 导数的概念
先讨论两个问题：速度问题和切线问题． 例1 设一质点作变速直线运动，位置函数s＝s（t），求质点在某时刻t0的瞬时速度． 解 考虑从t0到t0＋Δt这一时间间隔...
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2.2 求导法则
本节将引入几个基本的求导法则，利用这些法则和基本初等函数的导数公式，就能较简便地求出常见的初等函数的导数． 定理1 如果函数u（x）和v（x）在点x可导，则它们...
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2.3 高阶导数
如果函数y＝f（x）的导函数f′（x）仍可导，则称f′（x）的导数为f（x）的二阶导数，记为 即 同时称f（x）二阶可导．相应地称f′（x）为f（x）的一阶导数...
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2.4 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
前面所遇到的函数y都可由自变量x的解析式y＝f（x）来表示，这种函数称为显函数．如果变量x与y之间的函数关系由一个含x和y的方程F（x，y）＝0给出，那么称这种...
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2.5 微分
先考察一个具体问题. 设有一边长为x0的正方形金属薄片，受温度的影响其边长变为x0＋Δx，相应的正方形面积的增量为 可见ΔS由两部分组成.第一部分为2x0Δx（...
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习题2
一、填空题 1．若f（x）在x＝x0处可导，则=_____． 2．曲线y＝x ln x-x在点（e，0）处的切线方程为_____． 3．若在x＝1处可导，则a＝...
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第3章 微分中值定理与导数的应用
本章将应用导数研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题．为此，我们先介绍导数应用的理论基础——微分中值定理．...
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3.1 微分中值定理
要利用导数来研究函数的性质，首先就要了解导数值与函数值之间的联系．反映这些联系的是微分学中的几个中值定理，它们揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内某一点的导数...
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3.2 洛必达法则
在第1章介绍极限时，我们计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的极限，通常称这两种形式的极限为型和型未定式．此类极限可能存在，也可能不存在．在前面，计算这类极限...
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3.3 函数的单调性与极值
第1章介绍了函数单调性的概念．本节将以导数为工具研究函数的单调性． 如果函数f（x）在［a，b］上单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线，这时曲线上各...
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3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
通过对函数单调性的研究，可以知道函数曲线是上升还是下降．但是，曲线在上升或者下降的过程中还有一个弯曲方向的问题．例如，图3.10中有两条曲线弧和，虽然它们都是上...
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3.5 曲率
曲线的“弯曲程度”是曲线的一种重要性态，在数学上用曲率来表示． 考察曲线的切线变化情况，就会发现，由于曲线的“弯曲性”，切线将随着切点的移动而旋转．切线转过的角...
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3.6 导数在经济学中的应用
在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量的影响等． 在经济分析中，通常用“...
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习题3
一、填空题 1．函数的单调增加区间为_____． 2．设函数g（x）有一阶连续导数，且g（0）＝g′（0）＝1，则_____． 3．若点（1，0）是曲线y＝ax...
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第4章 不定积分
求不定积分是求导的逆运算，即寻求一个可导函数，使它的导数等于已知函数．本章将介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法．...
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4.1 不定积分的概念和性质
定义1 设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在函数F（x），使对于任意的x∈I，都有 F′（x）＝f（x）， 则称F（x）为f（x）在I上的一个原函数． 例如...
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4.2 换元积分法
利用基本积分公式与积分的性质所能计算的不定积分是十分有限的．本节把复合函数的微分法反过来用，得到一种基本的积分方法——换元积分法． 设所求的不定积分为，它可以写...
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4.3 分部积分法
本节将在函数乘积的求导公式的基础上讨论求不定积分的另一种基本方法——分部积分法． 设函数u（x），v（x）具有连续导数，由 公式（1）称为分部积分公式．利用这个...
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4.4 有理函数的积分
设Pn（x）和Qm（x）分别是n次和m次多项式，则称为有理函数或有理分式．当n＜m时，称这有理函数为真分式；而当n≥m时，称这有理函数为假分式． 利用多项式的除...
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习题4
一、填空题 1．函数f′（x）的不定积分是_____． 2．∫x3（1－x4）15dx＝_____． 3．若函数F（x）与G（x）是同一个连续函数的原函数，则F...