8.5　泰勒级数

8.5　泰勒级数

上一节讨论了幂级数的收敛域及其和函数．本节讨论相反的问题，即将一个函数f（x）表示成一个幂级数．

8.5.1　泰勒级数

假设f（x）是收敛区间为I的幂级数的和函数，即

在区间I内重复逐项求导，得

第n阶导数

f（n）（x）＝n！an＋（带因式（x－x0）的项的和）

…

因为这些等式在x＝x0时成立，故有

这些公式揭示了区间I上收敛于f（x）的幂级数（1）的系数与f（x）的关系．如果存在这样一个级数，则这个级数必定是

定义1　设函数f（x）在含有x0的某个开区间I内具有任意阶的导数，则级数

称为f（x）在x0处的泰勒级数．

特别地，f（x）在x＝0处泰勒级数

称为f（x）的麦克劳林级数．

必须注意的是，只要函数f（x）在点x0具有任意阶导数，则可以形式地写出它的泰勒级数（2）．但泰勒级数是否收敛？如果收敛，是否收敛于函数f（x）？

8.5.2　泰勒公式

不论是在近似计算还是在理论分析中，对于一些较复杂的函数，往往希望用一些较简单的函数来近似表达．由于多项式函数只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种运算就能求出它的函数值，因此经常用多项式来近似表达函数．

由函数微分的定义，如果函数f（x）在点x0处可导，则有

即在点x0附近，f（x）可用一次多项式

来逼近，其误差为o（x－x0）．

如果f（x）在点x0处有更高阶的导数，就可用更高阶的多项式来逼近．

定义2　设函数f（x）在含有x0的某个开区间I内具有直到n阶的导数，则

称为f（x）在x0处的n阶泰勒多项式．

例1　求在x＝0处的泰勒级数和n阶泰勒多项式．

解　因为

从而ex在x＝0处的泰勒级数为

在x＝0处的n阶泰勒多项式为

如果在x＝0附近用泰勒多项式来近似代替ex，则随着阶数的增加，它们就越来越接近于ex，如图8.3所示．

用函数f（x）的泰勒多项式来逼近f（x）的精确程度如何？下面的定理提供了一个估计的途径．

定理1（泰勒定理）　如果函数f（x）在含有x0的某个开区间I内具有直到n＋1阶的导数，则对任意x∈I，有

其中

这里ξ是x0与x之间的某个值．

证　设Rn（x）＝f（x）－pn（x），只需证明

由假设可知，Rn（x）在I内具有直到（n＋1）阶的导数，且

对函数Rn（x）和（x－x0）n＋1在以x0及x为端点的区间上应用柯西中值定理（显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件），得

再对函数与（n＋1）（x－x0）n在以x0及ξ1为端点的区间上应用柯西中值定理，得

如此继续，（n＋1）次应用柯西中值定理，得

公式（3）称为f（x）按（x－x0）的幂展开的n阶泰勒公式，而Rn（x）的表达式（4）称为拉格朗日型余项．

当n＝0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：

所以泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广．

由泰勒定理可知，以多项式Pn（x）近似表达函数f（x）时，其误差为|Rn（x）|．如果在区间I内|f（n＋1）（x）|≤M，则

可见，当x→x0时Rn（x）是比（x－x0）n高阶的无穷小．

在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成

这里Rn（x）＝o［（x－x0）n］称为皮亚诺型余项．

在泰勒公式中令x0＝0，则

或写成

称为麦克劳林公式．

8.5.3　函数展开成幂级数

现在，来回答8.5.1提出的问题．

因为f（x）的泰勒多项式Pn（x）是其泰勒级数（2）前n＋1项部分和sn＋1（x），故由

所以，如果则f（x）在x0处的泰勒级数收敛于f（x）．反之亦然．

定理2　如果函数f（x）在含有x0的某个开区间I内具有任意阶导数，则在I内f（x）在点x0处的泰勒级数收敛于f（x）的充分必要条件是：

定义　如果在含有x0的某个开区间I内函数f（x）的泰勒级数收敛于f（x），即

则称f（x）在I内可展开成泰勒级数．

把f（x）展开成x的幂级数的具体步骤如下：

（1）求出f（x）的各阶导数；

（2）求函数及其各阶导数在x＝0的值；

（3）写出幂级数

并求出收敛半径R．

（4）考察当x∈（－R，R）时

是否为零．

如果为零，则函数f（x）在区间（－R，R）内的幂级数展开式为

例2　将f（x）＝ex展开成x的幂级数．

解　由例1，ex的麦克劳林级数为

其收敛半径R＝＋∞．

对于任意确定的数x，拉格朗日型余项的绝对值

这是因为是一个有限数，而为正项收敛级数的通项，由级数收敛的必要条件，对（－∞，＋∞）上的一切x有所以得展开式

例3　将f（x）＝sin x展开成x的幂级数．

解　因为从而

f（n）（0）依次循环地取0，1，0，－1．于是函数的麦克劳林级数为

其收敛半径R＝＋∞．

对任何固定的数x，余项的绝对值

于是得展开式

例4　将函数f（x）＝（1＋x）m展开成x的幂级数，其中m为任意常数。

解　f（x）的各阶导数为

于是得幂级数

所以级数的收敛区间为（－1，1）．

可以证明，当x∈（－1，1）时，于是得展开式

公式（7）称为二项展开式．当m为正整数时，级数只有m＋1项

正是代数学中的二项式定理．

当m不是正整数或零时，级数是无限的．

当m＝－1时，即可得下面熟悉的几何级数的求和公式

当时，二项展开式为

对于大多数函数而言，通过求导计算泰勒级数的系数很烦琐，并且分析余项是否趋于零也不是容易的事情．因此，常利用已知的幂级数展开式、幂级数和函数的运算性质以及变量代换等来求函数的幂级数展开式．我们称这种方法为间接展开法．

例5　将函数cos x展开成x的幂级数．

解　对展开式（6）逐项求导，得

需要说明的是，假定函数f（x）在开区间（－R，R）内的展开式为

如果函数f（x）在该区间的端点x＝R（或x＝－R）处连续，上式右边的幂级数在x＝R（或x＝－R）仍收敛，则根据幂级数和函数的连续性，该展开式对x＝R（或x＝－R）也成立．

例6　将函数f（x）＝ln（1＋x）展开成x的幂级数．

解　注意到而

所以将上式两边从0到x逐项积分，得

展开式对x＝1也成立，因为上式右边的幂级数当x＝1时收敛，且ln（1＋x）在x＝1处连续．

例7　将函数lnx展开成（x－2）的幂级数．

解　由式（11），得

当即0＜x≤4时成立．

例8　将函数展开成（x－2）的幂级数．

当即－1＜x＜5时成立．

习题8.5

1．求下列函数在点x0处的2阶和3阶泰勒多项式：

（1）lnx，x0＝1；

（2）

（3）

2．将下列函数展开成x的幂级数：

（1）

（2）x2 sin x；

（3）

（4）ln（a＋x）（a＞0）；

（5）

（6）（1＋x）ln（1＋x）．

3．将展开成（x－1）的幂级数．

4．将展开成（x－a）（a＞0）的幂级数．

5．设在开区间（－c，c）内证明

（1）如果f（x）为奇函数，则a0＝a2＝a4＝…＝0，即f（x）的级数只含奇次幂；

（2）如果f（x）为偶函数，则a1＝a3＝a5＝…＝0，即f（x）的级数只含偶次幂．