4.3　分部积分法

4.3　分部积分法

本节将在函数乘积的求导公式的基础上讨论求不定积分的另一种基本方法——分部积分法．

设函数u（x），v（x）具有连续导数，由

公式（1）称为分部积分公式．利用这个公式，可以将较难求的转化为较易求的来计算．

例1　求．

解　取u＝lnx，dv＝dx，则，所以

例2　求

解　取u＝x，dv＝sin xdx，则du＝dx，v＝－cos x，所以

在初步掌握了分部积分法以后，解题时可不必明确地设出u和dv，而直接应用公式．以上两例都是仅用了一次分部积分公式，在一些较复杂的积分问题中，有可能要多次应用分部积分公式．

例3　求

解

例4　求

解

利用分部积分公式求不定积分的关键是如何适当地选择分部积分公式中的函数u（x）和v（x）．下面列出利用分部积分法的几种常见积分形式以及u，dv的选择方法：

（1）等形式（m为自然数），一般设dv＝xmdx，而被积表达式的其余部分设为u（x）；

（2）等形式（n为正整数），一般设u（x）＝xn，被积表达式的其余部分设为dv．

除了上面两种类型，在利用分部积分法求不定积分的过程中，以下两种情形也是经常出现的．

例5　求

解

上式右端第三项恰是所求的积分，移项得

例6　求

解

移项得

例7　求　

解　为了去掉根号，先用换元法．设则x＝t2，dx＝2tdt，所以

习题4.3

1．求下列不定积分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

2．如果函数f（x）的一个原函数是试求