7.3　可降阶的高阶微分方程

7.3　可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上微分方程称为高阶微分方程．一般情况下，求解高阶方程更加困难，其基本思路之一是设法降低方程的阶，从而降低问题的难度．

7.3.1　y（n）＝f（x）型的微分方程

方程

的右边仅是自变量x的函数．对方程两边逐次积分n次（即降阶n次）可得到通解．

例1　求微分方程y#＝x＋1的通解．

解　方程两边积分一次，得

两边再积分，得

第三次积分，得通解

7.3.2　y″＝f（x，y′）型的微分方程

方程

的右边不显含未知函数y．如果令y′＝p，则y″＝p′，从而方程化为

p′＝f（x，p）．

这是关于x，p的一阶微分方程，设其通解为

p＝φ（x，C1），

则

积分便得方程（2）的通解

例2　求微分方程y″＝y′的通解．

解　令y′＝p，则y″＝p′，代入方程得

p′＝p，

分离变量，得

因而

即y′＝C1ex，积分得原方程的通解

例3　求微分方程（1＋x2）y″＝2xy′满足初始条件y（0）＝1，y′（0）＝3的特解．

解　所给方程不显含未知函数y，令y′＝p，则y″＝p′，从而方程化为

分离变量，得

两边积分，得

即

p＝y′＝C1（1＋x2）．

由条件y′（0）＝3得C1＝3，所以

y′＝3（1＋x2）．

两边积分，得

y＝x3＋3x＋C2．

又由条件y（0）＝1，得C2＝1，于是所求方程的特解为

y＝x3＋3x＋1．

7.3.3　y″＝f（y，y′）型的微分方程

方程

的右边不显含x．如果令y′＝p，则

从而方程（3）可化为

这是关于y，p的一阶微分方程，设其通解为

则

分离变量并积分，得方程（3）的通解

例4　求微分方程2yy″－y′2－1＝0的通解．

解　所给方程不显含自变量x，令y′＝p，则，从方程可化为

分离变量，得

两边积分，得

再由y′＝p，得

分离变量并两边积分，便得原方程的通解

习题7.3

1．求下列微分方程的通解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）

（2）

（3）

3．设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R＝c2v2（其中c为常数，v为物体运动的速度），求物体下落的距离s与时间t的函数关系．