8.6　幂级数的应用

8.6　幂级数的应用

8.6.1　近似计算

函数的幂级数展开式可以用来进行近似计算，即在展开式的有效区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精度要求计算出来．

例1　计算e的近似值，要求误差不超过0.0001．

解　在ex的幂级数展开式中，令x＝1，得

如果取前n＋1项的和作为e的近似值

所产生的误差为

取n＝7，得

故取前8项，每项取前5位小数计算，得

例2　计算的近似值，要求误差不超过0.0001．

在（1＋x）m的麦克劳林展开式中令得

级数从第二项开始是交错级数，如果取前n项和作为近似值，其误差｜rn｜＜un＋1，而

故要保证误差不超过0.0001，只要取前两项作为其近似值即可，于是有

利用幂级数还可以计算一些定积分的近似值．具体做法是将被积函数展开成幂级数，逐项积分，然后通过积分后的幂级数求定积分的近似值．

例3　计算定积分

的近似值，要求误差不超过0.0001．

解　由于补充定义被积函数在x＝0处的值为1，则它在积分区间［0，1］上连续．

展开被积函数，有

在区间［0，1］上逐项积分，得

根据交错级数的误差估计，因为

所以取前3项的和作为积分的近似值

8.6.2　未定式的值

有时可以通过函数的幂级数展开式求未定式的值．

例3　求极限

解　由于是求x→0时的极限，故考虑利用函数的麦克劳林展开式．

sin x的麦克劳林展开式写到x5项，cos x的麦克劳林展开式写到x4项

例4　求极限

解　因为

所以

8.6.3　微分方程的幂级数解

当不能求得微分方程解的初等函数或其积分表达式时，我们要寻找其他解法．一个途径就是用一个幂级数作为解的表达式，下面举例说明．第一个例子是一阶线性微分方程，可用前面学过的方法求解．

例5　求微分方程y′－y＝x满足初始条件y（0）＝1的特解．

解　设方程有形如

的解，其中a0，a1，a2，…an－1，an…为待定系数．方程（1）两边对x求导，得

代入微分方程，得

比较上式两边x的同次幂系数，得

又由初始条件及式（1）知a0＝1，故

代入式（1）得

初值问题的解为

例6　求微分方程y′＝x＋y2满足初始条件y（0）＝0的特解．

解　设方程有形如

的解，其中a0，a1，a2，…，an－1，an，…为待定系数．因为y（0）＝0，故a0＝0．方程（2）两边对x求导，得

代入微分方程，得

比较上式两边x的同次幂系数，得

故有

于是，所求解的幂级数展开式的开始几项为

8.6.4　欧拉公式

在ex的幂级数展开式

中用ix代替x，则

公式

称为欧拉公式．用－x代替x，得

e－ix＝cos x－i sin x．

两式加、减得欧拉公式的另一种形式

特别地，在式（3）中令x＝π，得

也称为欧拉公式．在这样一个简单的公式中，把算术基本常数（0和1）、几何基本常数（π）、分析常数（e）以及复数常数（i）联系在一起．

习题8.6

1．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：

（1）ln 2（误差不超过0.0001）；

（2）（误差不超过0.001）；

（3）（误差不超过0.0001）．

2．利用函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值：

（1）（误差不超过0.0001，取1）；

（2）（误差不超过0.0001）．

3．利用函数的幂级数展开式求极限：

（1）

（2）

4．利用幂级数求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）y′－xy＝0，y（0）＝1；

（2）y′＝y2＋x3，y（0）＝