3.5　曲率

3.5　曲率

3.5.1　定义

曲线的“弯曲程度”是曲线的一种重要性态，在数学上用曲率来表示．

考察曲线的切线变化情况，就会发现，由于曲线的“弯曲性”，切线将随着切点的移动而旋转．切线转过的角度能够反映曲线的弯曲程度，另外，曲线的弯曲程度还与弧段的长度有关．

因此，引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下：

在曲线C上选定一点M0作为度量弧长的起点．对曲线上的任意点M，用s表示曲线弧的长度（规定当点M在M0右侧时s＞0）．显然，弧长s是x的单调增加函数，如图3.15所示．

设在点M处切线的倾角为α，曲线上另外一点M′对应于弧s＋Δs，在点M′处切线的倾角为α＋Δα，那么，弧段的长度为|Δs|，当动点从M移动到M′时切线转过的角度为|Δα|．

用比值来表达弧段的平均弯曲程度，叫做弧段的平均曲率，并记作，即

一般说来，曲线在各个点处弯曲程度不一样，|Δs|越小，用来描述曲线在点M处的弯曲程度越精确．当Δs→0（即M′→M）时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即

3.5.2　曲率的计算公式

1）求dα

设曲线方程为y＝f（x），且f（x）具有二阶导数．因为tanα＝y′，所以

2）求ds．

考虑小弧段，当M′与M充分靠近时，可用弦的长近似代替的弧长Δs，并有

当M′→M，即Δx→0时取极限，就得到

由于弧函数s（x）是x的单调增加函数，故

于是曲率K的计算公式为

例1　求直线的曲率．

解　设直线方程为y＝mx＋b（m为直线的斜率），则

y′＝m，y″＝0，

所以K＝0，即直线的“弯曲程度”为0．

例2　求半径为a的圆的曲率．

解　设圆的方程为x2＋y2＝a2，用隐函数求导法，求得

这说明圆周上任一点的曲率相等，其值等于圆半径的倒数．半径越小，曲率就越大；半径越大，曲率就越小．

例3　计算双曲线xy＝1在点（1，1）处的曲率．

解　由，求导得

把它们代入公式（2），便得曲线xy＝1在点（1，1）处的曲率为

设曲线由参数方程

给出，则可利用由参数方程所确定的函数的导数公式求出及，代入公式（2）便得

例4　求曲线在t＝t0相应点处的曲率．

解

故曲线在t＝t0相应点处的曲率为

设曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率为K（K≠0）．在点M（x，y）处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使以D为圆心，ρ为半径作圆，如图3.16所示．这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径．

按上述定义可知，曲率圆与曲线在点M有相同的切线和曲率，且在点M邻近有相同的凹凸方向．因此在实际问题中，常常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化．

习题3.5

1．求椭圆4x2＋y2＝4在点（0，2）处的曲率．

2．求曲线y＝ln sec x在点（x，y）处的曲率及曲率半径．

3．求抛物线y＝x2－4x＋3在其顶点处的曲率及曲率半径．

4．对数曲线y＝ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．

5．导出极坐标方程形式下的曲线的曲率计算公式，并求曲线n＞0）在点（ρ，θ）处的曲率．