5.4　广义积分

5.4　广义积分

定积分是在被积函数有界、积分区间有限的基础上定义的．但在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，这两类积分统称为广义积分．

5.4.1　无穷区间上的广义积分

定义1　设函数f（x）在区间［a，＋∞）上连续，定义

为函数f（x）在区间［a，＋∞）上的广义积分，记作即

如果存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散．

同样地，定义函数f（x）在区间（－∞，b］上的广义积分

设函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上连续，定义f（x）在区间（－∞，＋∞）上的广义积分

当和都收敛时，称广义积分收敛，否则称广义积分发散．

无穷区间上的广义积分又称为无穷积分．

例1　计算

解　

例2　计算

解　由式（3）得

这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→＋∞时，虽然图5.5中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．简单地说，它是位于曲线的下方、x轴上方的图形的面积．

如果记当F（＋∞）存在时，

当F（＋∞）不存在时，广义积分发散．其他情形类似．

例3　证明：广义积分当p＞1时收敛，当p≤1时发散．

证　当p≠1时

当p＝1时

因此，当p＞1时广义积分收敛，其值为当p≤1时，广义积分发散．

5.4.2　无界函数的广义积分

定义2　设函数f（x）在区间（a，b］上连续，且定义

为无界函数f（x）在区间（a，b］上的广义积分，仍记作即

如果存在，则称广义积分收敛．否则称广义积分发散．

同样地，设函数f（x）在区间［a，b）上连续，则定义广义积分

设函数f（x）在区间［a，b］上除点c（a＜c＜b）外连续，且则定义广义积分

当两个广义积分和都收敛，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散．

上述定义的广义积分统称为无界函数的广义积分．

如果函数在一点附近无界，则称这点为函数f（x）的瑕点（或奇点），因此无界函数的广义积分又称为瑕积分．

例4　计算广义积分

解　因为所以点1是瑕点．于是

例5　证明广义积分当0＜p＜1时收敛，当p≥1时发散．

证　当p＞0且p≠1时，有

当p＝1时，有

所以，当0＜p＜1时，广义积分收敛；当p≥1时，发散．

最后要说明的是，与定积分类似，广义积分也有换元法．

例6　计算广义积分

解　积分下限x＝0为瑕点，令，则x＝t2，且当x→0＋时，t→0；当x→＋∞时，t→＋∞．于是

再令t＝tan u，则u＝arctan t，且当t＝0时，u＝0；当t→＋∞时，于是

习题5.4

1．判别下列广义积分的收敛性；如果收敛，计算广义积分的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

2．当k为何值时，广义积分收敛？当k为何值时，这广义积分发散？当k为何值时，这广义积分取得最小值？